《数学分析(1,2,3)》教案 y=x+5,u=e(sin xy +sin y=) 这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数,其自变量与因变量之间的对应法则 是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数 本节将介绍由一个方程F(x,y,=)=0所确定的隐函数求导法以及由方程组 F(x,y,=,u,v)=0 G(x,y.n)=0 所确定 的隐函数求导法。 一个方程F(x,y,)=0的情形 对F(x,y,z)=0关于x,y求导,利用链式法则: aF aFaF az z OF aF az z =0三 (F≠0) x az ax x a= a az 说明:(1)求,需要假定a(F)≠0,这一假设是很重要的:(2)这里只用到了“链式法则 (3)对F(x,y,z)=0求导,只在假定z是x和y的函数的情况下,求导数,如何确定z=x(x,y)。 例:设 求 例:设F二阶可微,F(x,y-,x=)=0,求x,=y,y 方程组的情形 设由方程组 ∫F(xy=1)=0 (x2a")=D确定了,是x,y的函数:u=(x,y,=)V=(xy2)并且它们具 有对各个变元的连续偏导数,如何求偏导数? FF F y F 「F+Fu,+FV=0 GG 解决方案 IG, +G, u,+G,v,=0 FF FF 求,",及u,v的方法与求n2"2完全相同 例:设x=r0sO,y=rinO,求rn,rO,, x+v+=+u+v=0 例:设 x2+y2+z2+u2+y2=2 14-5《数学分析（1，2，3）》教案 14-5 5 , (sin sin ) xyz y x u e xy yz = + = + 这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则 是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数。 本节将介绍由一个方程 F(x, y,z) = 0 所确定的隐函数求导法以及由方程组    = = ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v 所确定 的隐函数求导法。 一 一个方程 F(x, y,z) = 0 的情形 对 F(x, y,z) = 0 关于x，y求导，利用链式法则： 0 ( 0); 0 ( 0) z z F F F F z z F F z z x y F F x z x x x z y y F F z z             + =  = −  + =  = −              说明：（1） 求 y z x z     , 需要假定 ( )  0,   Fz z F ，这一假设是很重要的；（2） 这里只用到了“链式法则”； （3） 对 F(x, y,z) = 0 求导，只在假定 z是x和y 的函数的情况下，求导数，如何确定 z = z(x, y) 。 例： 设 2 2 2 2 2 2 2 x y z r a b c + + = ，求 y z x z     , 。 例： 设 F 二阶可微， F xy y z xz ( , , ) 0 − = ，求 x y xy z ,z ,z 。 二 方程组的情形 设由方程组    = = ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v 确定了 u,v是x, y,z的函数：u = u(x, y,z), v = v(x, y,z) 并且它们具 有对各个变元的连续偏导数，如何求偏导数？ 解决方案： 0 0 x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v  + + =   + + =  x v x v x u v u v F F G G U F F G G = y x u x x u v u v F F G G V F F G G = 求 , , y y z z x x u v u v u v 及 ， 的方法与求 完全相同。 例：设 x y x y x = r cos , y = rsin  ,求r ,r  , 。 例：设 2 2 2 2 2 0 , , , , 2 u u uu uu x y z u v x y x y x y z u v  + + + + =   + + + + = 求