《数学分析(1,2,3)》教案 阶微分形式不变性 阶微分有个很重要性质一—一形式不变性。在二元函数中也有类似的性质 设二=f(x,y)是二元可微函数,如果x,y是自变量,则 az d=d+d.(dx,d各自独立变量) 如果x,y不是自变量而是中间变量,x=x(u,v),y=y(u,v),又设x,y都可微,并且f,x,y可以构成复合函 dz=-du +-dv az ax az ay ax az ay (d,d如上,由u,v,dh,d决定) 由(1),(2)的d可知一阶微分形式的不变性。 注意(1)两阶微分没有这一性质,如下例 例:设二=x+y,x=l2,y=l+V.z=u2y++.则 a dudy+--dv=2vdu+ 4ududy 如果二阶微分只有形式不变性,则有: d==dx+2-dxdy+dy axon 但 =0,从而d2z=0 (2)利用一阶微分形式不变性求偏导数 例:设z=esin(x+y),利用微分形式不变性求d,并求出 (3)高阶微分不具有形式不变性 §3由方程(组)所确定的函数的求导法 在此之前,我们所接触的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如 14-4《数学分析（1，2，3）》教案 14-4 二 一阶微分形式不变性 一阶微分有个很重要性质——形式不变性。在二元函数中也有类似的性质。 设 z = f (x, y) 是二元可微函数，如果 x, y 是自变量，则： dy. y z dx x z dz   +   = （ dx,dy 各自独立变量） （1） 如果 x, y 不是自变量而是中间变量， x = x(u,v), y = y(u,v), 又设 x, y 都可微，并且 f , x, y 可以构成复合函 数，那么： dv v z du u z dz   +   = ( , 如上，由 , , , 决定)。 . ( ) ( ) ( ) ( ) dx dy u v du dv dy y z dx x z dv v y du u y y z dv v x du u x x z v y y z v x x z u y y z su x x z   +   =   +     +   +     =     +      +      +      = （2） 由（1），（2）的 dz 可知一阶微分形式的不变性。 注意（1）两阶微分没有这一性质，如下例。 例：设 2 z x y x u v y u v = + = = + , , . 2 z u v u v = + + . 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 z z z d z du dudv dv vdu ududv u u v v    = + + = +     如果二阶微分只有形式不变性，则有： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dy y z dxdy x y z dx x z d z   +    +   = 但 2 2 2 2 2 2 0 0 z z z d z x x y y    = + = =     ，从而 （2）利用一阶微分形式不变性求偏导数 例：设 sin( ) , xy z e x y = + 利用微分形式不变性求 dz, 并求出 , . z z x y     （3）高阶微分不具有形式不变性。 §3 由方程（组）所确定的函数的求导法 在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如