《数学分析(1,2,3)》教案 定理2设二元函数的两个混合偏导数∫,∫在(x,y)连续,则有∫(x,y)f(x0,y0) §2求复合函数求导的链式法则 复合函数求导的链式法则 定理1(链式法则)设=f(xy),x=p(s,1),y=(,1),此时∫在点(x,y)可微,又x和y都在点(1) 关于s,t的偏导数存在,则 at ax at ay at 说明:(1)几种特殊情形:定理1显然讲的是2个中间变量,2个自变量的情形,但其思想方法完全适用与其 它情形: 1)=f(x,y),x=x(1),y=y().则 2)设u=f(x,y,1),x=x(S,D),y=y(S,1).则 as ax as as at as at ax at ay at at at 例:设=f(x1)在R2内有关于u和的二阶连续偏导数,又设=x2y,y=2。求2, (2)计算复合函数的两阶及两阶以上偏导数,只要重复运用链式法则即可 (3)有时,为书写上方便,记=9,即/(xn)关于第一个变量m的偏导数 =9,即(x关于第一个变量的偏导数f1=可,后1=,2=y au? 例:设厂二阶可微,=f(x2c2)求,在 例:设∫二阶可微,z=f(x2-2y2),求 (4)链式法则链式法则中的条件是充分的,并非必要的。在使用链式法则时,要注意∫的可微性条件,如 果不满足这一条件,链式法则不一定成立 14-3《数学分析（1，2，3）》教案 14-3 定理 2 设二元函数的两个混合偏导数 f xy ， f yx 在( 0 x ， 0 y )连续，则有 f xy ( 0 x , 0 y )= f yx ( 0 x , 0 y )。 §2 求复合函数求导的链式法则 一 复合函数求导的链式法则 定理 1（链式法则）设 u f x y = ( , )，x s t y s t = =   ( , , , ) ( ) ，此时 f 在点 （x y, ） 可微，又 x 和 y 都在点 ( , ) st 关于 st , 的偏导数存在，则 ; . u u x u y s x s y s u u x u y t x t y t      =  +            =  +       说明：(1) 几种特殊情形：定理 1 显然讲的是 2 个中间变量，2 个自变量的情形，但其思想方法完全适用与其 它情形： 1） u f x y x x t y y t = = = ( , ), ( ), ( ). 则 u u x u y t x t y t      =  +       。 2）设 u f x y t x x s t y y s t = = = ( , , ), ( , ), ( , ). 则 u u x u y u zt s x s y s t s u u x u y u t t x t y t t t        =  +  +                =  +  +         例： 设z = f (u,v)在R 2内有关于u和v的二阶连续偏导数， 又设 x y u = x y,v = 2 。求 。 y z x z     , （2） 计算复合函数的两阶及两阶以上偏导数，只要重复运用链式法则即可。 （ 3 ） 有 时 ， 为 书 写 上 方 便 ， 记 ( , ) ; ' 1 ，即f u v 关于第一个变量u的偏导数 u f f   = ( , ) ; ' 2 ，即f u v 关于第一个变量v的偏导数 v f f   = 2 2 ' 22 2 ' 2 12 ' 11 , v f f u v f f u f f   =    =   = ， 。 例： 2 2 2 ( , ), , x dz dz f z f x e dx dx 设 二阶可微， = 求 。 例： 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ), , , . d z z z f z f x y x y x y    = −     设 二阶可微， 求 （4）链式法则链式法则中的条件是充分的，并非必要的。在使用链式法则时，要注意 f 的可微性条件，如 果不满足这一条件，链式法则不一定成立