《数学分析(1,2,3)》教案 (0.f(x,y)就是曲线x=x,y=y=f(x,y)在M6(x,y)的切向量 全微分的定义 二元函数微分的定义 定义2若函数u=f(x,y)的全改变量△可表示为 △M=f(x+Ax,y+Ay)-f(xy)=AAx+BAy+o(√△x2+Ay 且其中A,B与Ax,△y无关而仅与x,y有关,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微,并称AAx+B△y为 f(x,y)在点(xy)的全微分,记为dhm,即 d=AAx+B△y 性质1如果∫在点(x0,y0)可微,则A=(x, 注:若u=f(x,y)在点(x,y)可微,则d=f(xy)a+f(x,y)。 性质2若∫在点(x0’y)可微,则f在点(x0,y)连续。 例:设 (xy)={x+yp,x+y2≠0 证明∫(x,y)在(0.0)点不可微。 定理1设函数∫的两个偏导数 af af 在点(x0,y)存在而且都连续,则∫在点(x0,y)可微。 例:设u=xy-sinx2y,求dh 三高阶偏导数与高阶全微分 类似于一元函数的高阶导数,可以定义高阶偏导数。 例:设z=x3y2+ cos xy,求 a= a 8= a2-a 注:一般情况下,未必有un=ly 例,设(x)={2+y(x=0,可求得,(00=1,(00=1 0 14-2《数学分析（1，2，3）》教案 14-2 (0,1, , f x y y ( 0 0 )) 就是曲线 x x y y u f x y = = = 0 0 , , , ( ) 在 M x y z 0 0 0 0 ( , , ) 的切向量。 二 全微分的定义 二元函数微分的定义 定义 2 若函数 u f x y = ( , ) 的全改变量 u 可表示为 u = f ( x + x , y + y ) − f x y ( , ) = A x + B y + o ( 2 2 x + y ) 且其中 A B, 与 x ， y 无关而仅与 x y , 有关，则称函数 f x y ( , ) 在点 ( x y, ) 可微，并称 A x B y  +  为 f x y ( , ) 在点 ( x y, ) 的全微分，记为 du ，即 du A x B y =  +  。 性质 1 如果 f 在点（ 0 x , 0 y ）可微，则 f x y ( 0 0 , ) A x  =  ， f x y ( 0 0 , ) B y  =  。 注：若 u f x y = ( , ) 在点 ( x y, ) 可微，则 du f x y dx f x y dy = + x y ( , , ) ( ) 。 性质 2 若 f 在点（ 0 x ， 0 y ）可微，则 f 在点（ 0 x ， 0 y ）连续。 例：设 ( ) 2 2 2 2 2 2 , 0 , 0, 0 xy x y f x y x y x y  +   =  +   + = 证明 f x y ( , ) 在 (0, 0) 点不可微。 定理 1 设函数 f 的两个偏导数 x f   ， y f   在点（ 0 x ， 0 y ）存在而且都连续，则 f 在点（ 0 x ， 0 y ）可微。 例：设 2 u xy x y = −sin ，求 du 。 三 高阶偏导数与高阶全微分 类似于一元函数的高阶导数，可以定义高阶偏导数。 例：设 3 2 z x y xy = + cos ，求 x z   ， y z   ； 2 2 x z   ， y x z    2 ； 3 3 x z   ， y x z    2 3 。 注：一般情况下，未必有 xy yx u u = 。 例： 设 ( ) 2 2 2 2 , 0 x y xy f x y x y  −  =  +   ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) =  x y x y ，可求得 f xy (0,0 1 ) = − ， f yx (0,0 1 ) =