《数学分析(1,2,3)》教案 第十四章多元函数微分学 §1偏导数和全微分的概念 偏导数的定义 偏导数定义 定义1设f(x,y)是一个二元函数,定义在R2内某一个开集D内,点(x0,y)∈D,在f(xy)中固 定y=y,那么f(x,y)是一个变元x的函数,如果f(x,y)在点x0可导,即如果 lim f(xo+Ax, yo)-f(xo, y (1) Ax→>0 存在,则称此极限值为二元函数/(x)在点(x,)关于x的偏导数。记为(2,(而,x) 类似地可定义9(,) 2.偏导数的计算 例:设f(xy)=习,求偏导数f, 例: 求 2=xcsx,求x和x3 例:U=x2+y2+yzex求l2 3.偏导数和连续 若f(x,y)在点(x,y)关于x(或y)可导,则f(xy)在(x,y)关于x(或y)连续。但不能推出f(x,y) 关于两个变量是连续的。见下面的例子 例:(xy)={x+y2(xy)≠(00 (x,y)=(0,0) f(,y) =x或y=y 其它 4.偏导数的几何意义 (10.f(x,y)就是曲线x=xy=y0,=f(xy)在M6(x,y,=)的切向量 14-1《数学分析（1，2，3）》教案 14-1 第十四章 多元函数微分学 §1 偏导数和全微分的概念 一 偏导数的定义 1． 偏导数定义 定义 1 设 f x y ( , ) 是一个二元函数，定义在 2 R 内某一个开集 D 内，点（ 0 x ， 0 y ）  D， 在 f x y ( , ) 中固 定 0 y y = ,那么 f x y ( , 0 ) 是一个变元 x 的函数，如果 f x y ( , 0 ) 在点 0 x 可导，即如果 0 lim x → f x x y f x y ( 0 0 0 0 , , ) ( ) x +  − −  (1) 存在，则称此极限值为二元函数 f x y ( , ) 在点（ 0 x , 0 y ）关于 x 的偏导数。记为 f x y ( 0 0 , ) x   ， f x y x ( 0 0 , ) 。 类似地可定义 f x y ( 0 0 , ) y   。 2． 偏导数的计算 例: 设 f x y xy ( , ) = ，求偏导数 f x ， f y 。 例： z x xy = cos ，求 x z 和 y z 。 例：U= 2 x + 2 y +yz x−8 e 求 x u ， y u ， z u 。 3. 偏导数和连续 若 f x y ( , ) 在点 ( x y, ) 关于 x （或 y ）可导，则 f x y ( , ) 在 ( x y, ) 关于 x （或 y ）连续。但不能推出 f x y ( , ) 关于两个变量是连续的。见下面的例子。 例： ( ) 2 2 , 0 xy f x y x y   =  +   ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) =  x y x y ； ( ) 2 , 1 f x y  =   0 0 x x y y = = 或 其它 。 4. 偏导数的几何意义 (1,0, , f x y x ( 0 0 )) 就是曲线 x x y y u f x y = = = , , , 0 0 ( ) 在 M x y z 0 0 0 0 ( , , ) 的切向量