2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 即有 f(x)dx≤M 对∫"(x)在[-a,+a]上应用连续函数的介值定理,则在[-a,+a上至少存在一点 门,使得a3f"(m)=3f(x)dx 注意如下错误做法。由泰勒公式,得 (x)=0x+2f(x)x,其中x∈=a。两边从一Q到a积分,得 f(x)dx=-a'f(xo) 错误原因:x0在0,x之间且与x有关。 例8.21求极限lim -dx 【解】 01+sin x 0 1+sinx 1+sin xl Jo(1+sin x) 记In cosd,则0<n≤」xatx= 0(+sin x n+1 因此lim - dr=- I 0 1+sin x +sin 1 n 1+sin 1 例8.22设f(x)在(-∞,+∞)上可导,a>0,则 imx」/(+a)-f(-a)t=[B (A)f'(2a)。(B)∫(0)。(0)f(a)。⑩D)f(0) 【解】由罗必达法则 ff(+a-f(t-a)ln f(x)dx- f(x)dx da l a→0 2f(2a)-2f(-2a) f(0) 例8.23把x→0+时的无穷小量 a=cost,B= tanvir,y=" sinto排序,使排在后面的是前一个的高 阶无穷小,则正确的排列次序是[B (A)a,B,r.(B)a,,B. (C)B,a, r.(D)B,r,a 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 即有 f x dx M a m a a ≤ ≤ ∫− ( ) 3 3 ， 对 f ′′(x) 在[−a, + a] 上应用连续函数的介值定理，则在[−a, + a] 上至少存在一点 η ，使得 . ∫− ′′ = a a a f ( ) 3 f (x)dx 3 η 注意如下错误做法。由泰勒公式，得 2 0 "( ) 2 1 f (x) = f '(0)x + f x x ，其中 [ , ] x0 ∈ −a a 。两边从 − a 到 a 积分，得 ∫− = a a f x dx a f "(x ) 3 1 ( ) 0 3 。 错误原因： x0 在0, x 之间且与 x 有关。 例 8.21 求极限 dx x nxn n ∫ + − →∞ 1 0 1 1 sin lim . 【解】 dx x nxn ∫ + − 1 0 1 1 sin ∫ ∫ + + + = + = 1 0 2 1 0 1 0 (1 sin ) cos 1 sin 1 sin x x xdx x x x dx n n n 记 dx x x x I n n ∫ + = 1 0 2 (1 sin ) cos ，则 1 1 0 1 0 + < ≤ = ∫ n I x dx n n 因此 n n n n dx I x nx →∞ − →∞ + + = + ∫ lim 1 sin1 1 1 sin lim 1 0 1 1 sin1 1 + = 。 例 8.22 设 f (x) 在(−∞,+∞) 上可导， a > 0 ，则 + − − = → ∫− f t f t dt α α α α α α [ ( ) ( )] 4 1 lim 2 0 [ B ]。 (A) f ′(2α) 。 (B) f ′(0) 。 (C) f ′(α) 。 (D) (0) 2 1 f ′ 【解】由罗必达法则 f t f t dt → ∫− + − − α α α α α α [ ( ) ( )] 4 1 lim 2 0 α α α α α 8 ( ) ( ) lim 0 2 2 0 0 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ∫ ∫− → f x dx f x dx d d (0) 8 2 (2 ) 2 ( 2 ) lim 0 f f f = ′ − − = → α α α α 例 8.23 把 x → 0+ 时的无穷小量 t dt tdt t dt x x x ∫ ∫ ∫ = = = 0 3 0 0 2 cos , tan , sin 2 α β γ 排序，使排在后面的是前一个的高 阶无穷小，则正确的排列次序是[ B ] (A) α, β ,γ . (B) α,γ , β . (C) β ,α,γ . (D) β ,γ ,α . 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 11 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805