2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 (t-[])dt +(-)-(k-1)=frih=l 而J(-)t= Jo udu < oudu 因此 (t-[)dt< 「(-l)dt 于是 (n+ (t-[])d 由夹逼定理得到lin 例8.19设f(x)连续,且(O)=-1,2(cost=1 则当x>0时,d (A)0 (B)f(cosx)cosx。(C)1 (D)-1 【解】令=x50n,则有C(x一M二h答第:c 例8.20设a>0,f(x)在-a,+a]上有二阶连续导数,且f(0)=0 (1)写出∫(x)的带 Lagrange余项的一阶麦克劳林公式公式 (2)证明在a+a上至少存在一点7,使得af(m)=3f(x 【解】(1)Vx∈[a,a]有 f(x)=f(0)+f(0)x+<(5) x2=f(0)x+<s x2其中(变量)在0,x之间 2! 2! (2)由上式两边取积分得到 f(x)dx f(O)xa+/°x2 f"() x f(sdx 由于∫"(x)在-a,+a]上连续,因此∫"(x)在-a,+a]上 存在最大最小值m,M,使m≤∫"(x)≤M。 于是由积分估值定理可得到 mx≤(x)x=2x5≤Mx 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 10www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ∫ − − k k t t dt 1 ( [ ]) ∫ = + − − − 1 0 [u (k 1) (k 1)]du 2 1 1 0 = = ∫ udu 而 ∫ ∫ ∫ − = < = − 1 0 0 2 1 (t [t])dt udu udu x x n n ， 因此 2 2 1 ( [ ]) 2 0 n t t dt n x < − < + ∫ ， 于是 ) 2 2 1 ( 1 ( [ ]) 2( 1) 0 n x n t t dt n n x < + − < + ∫ ， 由夹逼定理得到 2 1 ( [ ]) lim 0 = − ∫ →+∞ x t t dt x x 。 例 8.19 设 f (x) 连续，且 f (0) = −1， (cos ) cos 1 2 0 = ∫ f u udu π ， 则当 x > 0时， = − ∫[ ( ) ] 0 2 2 dt x x t f dx d x （ C ）。 (A) 0。 (B) f (cos x) cos x 。 (C) 1。 (D) -1。 【解】令t = xsinu , 则有 ( ) (cos ) cos 1 2 0 0 2 2 = = − ∫ ∫ π dt f u udu x x t f x ，答案：（C）。 例 8.20 设 a > 0 ， f (x) 在[−a, + a] 上有二阶连续导数，且 f (0) = 0， （1）写出 f (x) 的带 Lagrange 余项的一阶麦克劳林公式公式。 （2）证明在[−a, + a]上至少存在一点η ，使得 。 ∫− ′′ = a a a f ( ) 3 f (x)dx 3 η 【解】（1）∀x ∈[−a, a]有 2 2 2! ( ) (0) 2! ( ) ( ) (0) (0) x f x f x f f x f f x ξ ′′ ξ = ′ + ′′ = + ′ + 其中ξ (变量)在0, x 之间。 （2）由上式两边取积分得到 ∫ ∫ − − ∫− = + ′′ a a a a a a f dx x f x dx f xdx ( ) 2 ( ) (0) 2 ξ ∫− = ′′ a a x f ( )dx 2 1 2 ξ 由于 f ′′(x) 在[−a, + a] 上连续，因此 f ′′(x) 在[−a, + a] 上 存在最大最小值 m, M ，使 m ≤ f ′′(x) ≤ M 。 于是由积分估值定理可得到 ∫ ∫− ≤ a a a m x dx f x xdx 0 2 ( ) ∫ ∫ = ′′ ≤ − a a a x f dx M x dx 0 2 2 ( ) 2 1 ξ 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 10 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805