2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 (3)FO)=20()0h=/a)-a2-1,f(0)=1,对a求导得到一阶线性方程 2af(a)=f(a)-2a, f(a) 由f(0)=1,C=2,得到f(x)=2。x2-1 例8.17设f(x)在(a,b)内有定义,且在x0∈(a,b)处可导。数列{xn},{yn}满足条 fF: a<x,<xo<y,<b, lim x, =lim y=xo 试求Iim fo)-f(x,) 【解】(泰勒公式,无穷小的运算,或导数概念,极限与无穷小的关系) 由∫(x)在x处的可微性,并且lmxn= lim y=x0于是 f(xn)=f(ro)+f(xo)(x-xo)+o(x-xo), f(yn)=f(x)+f(x)X-x)+0(-)故1mn()-f(x) 时()×∞_)0(x2-x) y-x y-x 又因为a<x<x0<yn<b,所以得到 o so(-xolsJo(m-xo2 osolx-xo51xo(x-xo 所以lim f.)-f(x,) =f(x0) 例8.18求极限m回!m 其中[表示不超过t的最大整数 【解】考虑充分大的x:n<x<n+1时有 「(-)d=J。(-)d+(-)h+…」(-)t+J(t-!)d (t-)d+ (t-[])da 令l=t-(k-1),d=dt,则有 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 （３） (0) 2 ( ) ( ) 2 1， 0 = = − − ∫ F tf t dt f a a a f (0) =1。对 求导得到一阶线性方程 ， a 2af (a) = f ′(a) − 2a ∫ = + = − − ( ) ( 2 ) 1 2 2 2 a f a e ae da C Ce a a ， 由 f (0) =1, C = 2，得到 ( ) 2 1。 2 = − x f x e 例 8.17 设 f (x) 在(a,b) 内有定义，且在 ( , ) x0 ∈ a b 处可导。数列 满足条 件： { },{ } n n x y 0 0 a x x y b, lim x lim y x n n n < n < < n < n = = →∞ →∞ 。 试求 n n n n n y x f y f x − − →∞ ( ) ( ) lim 。 【解】（泰勒公式，无穷小的运算，或导数概念，极限与无穷小的关系） 由 f (x) 在 x0 处的可微性，并且 0 lim x lim y x n n n n = = →∞ →∞ 于是 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 f x f x f x x x o x x n = + ′ n − + n − , ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 f y f x f x y x o y x n = + ′ n − + n − 故 n n n n n y x f y f x − − →∞ ( ) ( ) lim ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = ′ + →∞ n n n n n n n y x o x x y x o y x f x ( ) ( ) lim ( ) 0 0 0 . 又因为 a < xn < x0 < yn < b ，所以得到： 0 0 0 ( ) ( ) 0 y x o y x y x o y x n n n n n − − ≤ − − ≤ 0 0 0 ( ) ( ) 0 x x o x x x y x o x x n n n n n − − ≤ − − ≤ ， 所以 ( ) ( ) ( ) lim 0 f x y x f y f x n n n n n = ′ − − →∞ 。 例 8.18 求极限 x t t dt x x ∫ − →+∞ 0 ( [ ]) lim ，其中[t]表示不超过t 的最大整数。 【解】考虑充分大的 x : n < x < n +1时有 − = ∫ x t t dt 0 ( [ ]) − + ∫ 1 0 (t [t])dt − + ∫ 2 1 (t [t])dt − + ∫ − n n t t dt 1 L ( [ ]) ∫ − x n (t [t])dt = − + ∫ x n (t [t])dt ∑∫ = − − n k k k t t dt 1 1 ( [ ]) 令u = t − (k −1) ， du = dt ，则有 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 9 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805