2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 【解】()S=2e-2dk=-c26 矩形-≤x≤1,0≤y≤FO的面积为S(1)=2e-2 因此S()=1-21e,t∈(0,+∞) (I由于S(1)=-2(1-2n)e-2,故SO的唯一驻点为/≈1 又S()=8(1-1)e2,S"()=->0 所以,S()=1--为极小值,它也是最小值 例8.16设∫(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)>0,f(-1)=f(1) (x)=x-|/(0t (1)证明当x∈[-a,a]时,F'(x)单调增 (2)x为何值时F(x)取最小值 (3)当把F(x)的最小值记为a的函数f(a)-a2-1时,试求f(x) 【解】(1)x∈[-a,a], F(x)=(r-Df(dt+(-x)f(dt xf(x)+f(rdt-xf(x)-xf(x)+rf(x)-f(r)dr F"(x)=f(x)+f(x)=2f(x)>0,x∈[-a,a 故F(x)单调增 (2)F(x)=n(M+oMt=(-n)-m)+0t 因为f(x)>0,F(x)=0有唯一解x=0.由F"(0)>0知x=0是F(x)的极小值 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 8www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 【解】(I) 2 1 0 2 0 2 = = − = +∞ − +∞ − ∫ x x S e dx e ， 矩形−t ≤ x ≤ t，0 ≤ y ≤ F(t)的面积为 ， t S t te 2 1( ) 2 − = 因此 ，t ∈ (0 , +∞). t S t te 2 ( ) 1 2 − = − (II) 由于 ，故 S(t)的唯一驻点为 t S t t e 2 ( ) 2(1 2 ) − ′ = − − 2 1 t = ， 又 ， t S t t e 2 ( ) 8(1 ) − ′′ = − 0 4 ) 2 1 ′′( = > e S ， 所以， e S 1 ) 1 2 1 ( = − 为极小值，它也是最小值. 例 8.16 设 f (x) 在(−∞,+∞) 上连续，且 f (x) > 0, f (−t) = f (t) ， ∫− = − a a F(x) | x t | f (t)dt （1）证明当 x∈[−a, a]时， F′(x) 单调增； （2） x 为何值时 F(x) 取最小值； （3）当把 F(x) 的最小值记为 a 的函数 ( ) 1时，试求 ． 2 f a − a − f (x) 【解】（１） x∈[−a, a]， ∫ ∫ = − + − − a x x a F(x) (x t) f (t)dt (t x) f (t)dt F′(x) ∫ ∫ ∫ ∫ = + = + − − + − − − x a x a a x x a f t dt f t dt xf x f t dt xf x xf x xf x f t dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F′′(x) = f (x) + f (x) = 2 f (x) > 0, x∈[−a, a] 故 F′(x) 单调增． （２） ∫ ∫ ′ = + − x a x a F (x) f (t)dt f (t)dt ∫ ∫ = − − + − x a x a f ( u)d( u) f (t)dt ∫ ∫ ∫− − = − + = x x x a x a f (t)dt f (t)dt f (t)dt 因为 f (x) > 0，F′(x) = 0有唯一解 x = 0．由 F′′(0) > 0 知 x = 0是 的极小值 点． F(x) 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 8 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805