2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 1+x") 取极限得 lim na=lin+(-)]2-1=(1+-)2-1 n→① 例813已知f(e)=xe,且f(l)=0,则f(x)=(nx) 【分析】先求出∫(x)的表达式,再积分即可。 【解】令e=t,则x=lnt,于是有 Int f(1) 即f(x) x 积分得f(x)=2=5(mx)2+C、利用初始条件/()=0,得C=,故所求 函数为f(x)=(nx)2 例8.14设f(x)= 则|f(x-1)atr=、1 【分析】对分段函数的定积分,先取区间变换:x-1=1,再利用对称区间上奇偶函 的积分性质 【解】令x-1=1, (x-1k=」1(=」.(x) 2x+(-)k=0+(-2)= ex,x≤0 例8.15设F(x)={-2xx>0 S表示夹在x轴与曲线y=F(x)之间的面积。对 任何1>0,S1(1)表示矩形-1≤x≤,0≤y≤F(1)的面积求 (1)S()=S-S1(1)的表达式 (2)S()的最小值 【分析】曲线y=F(x)关于y轴对称,x轴与曲线y=F(x)围成一无界区域,所以 面积S可用广义积分表示.,属于基本题型 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 7www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 = 1 0 3 / 2 (1 ) 1 + n+ n n x n = ) ) 1] 1 [(1 ( 1 3 / 2 − + + n n n n 取极限得 ) 1 1 ) ] 1 (1 1 lim lim[1 ( 3 / 2 3 / 2 − = + − + = + →∞ →∞ n e n na n n n n 例 8.13 已知 ，且 x x f e xe− ′( ) = f (1) = 0 , 则 f (x) = 2 (ln ) 2 1 x . 【分析】 先求出 f ′(x) 的表达式，再积分即可。 【解】 令ex = t ，则 x = lnt ，于是有 t t f t ln ′( ) = ， 即 . ln ( ) x x f ′ x = 积分得 dx x C x x f x = = + ∫ 2 (ln ) 2 ln 1 ( ) . 利用初始条件 f (1) = 0 , 得 C=0，故所求 函数为 f (x) = 2 (ln ) 2 1 x . 例 8.14 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≥ − ≤ < = 2 1 1 , 2 1 2 1 , ( ) 2 x xe x f x x ，则 2 1 ( 1) 2 2 1 − = − ∫ f x dx . 【分析】对分段函数的定积分，先取区间变换：x − 1 = t，再利用对称区间上奇偶函 数 的积分性质。 【解】令 x − 1 = t， ∫ ∫− ∫− − = = 1 2 1 1 2 1 2 2 1 f (x 1)dx f (t)dt f (x)dt 2 1 ) 2 1 ( 1) 0 ( 1 2 1 2 1 2 1 2 = + − = + − = − ∫ ∫ − xe dx dx x . 例 8.15 设 ，S 表示夹在 x 轴与曲线 y = F(x)之间的面积。 对 任何 t > 0， 表示矩形−t ≤ x ≤ t，0 ≤ y ≤ F(t)的面积. 求 ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = − , 0 , 0 ( ) 2 2 e x e x F x x x ( ) 1 S t (1) S(t) = S − S1(t) 的表达式； (2) S(t)的最小值. 【分析】曲线 y = F(x)关于 y 轴对称，x 轴与曲线 y = F(x)围成一无界区域，所以， 面积 S 可用广义积分表示. ，属于基本题型。 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 7 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805