2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 极限 lim In y=lim-∑n-等于广义积分[ Inxdx的值, nn k=l n k-1 k 相应于将区间[0,1分割成 ](k=1,2,…,n)的积分和式的极限 且积分和式中的f()=ln 注意到广义积分nx为第二类广义积分,并且收敏,于是 lim In yn lim->In-=In xdx=(xlnx-x=-1, 所以imyn=lim=-。 n 类似方法可以计算lm=∑i= sin dr n- n k=l k 其中A 5k 请看2004年考题 (2004-209) lim In a ll1+-|1+ n 等于[B] (A),In'xdx (B2[Inxdx ()∫m+x(D)(+x)h 【解】 lim In1+-1 lin n→n =2lim- 2 In(1+x)dx=2.In tdt=(B n→nk=1l 2 In tdt=2(tInt-o,=4 In2-2 例812设an=5「 n/(n+1) xⅥ1+x"dx,则 lim na=[B] (A)(l+e)+1。(B)(1 (C)(1+)3 (D)(1+e)32-1。 【解】积分得 (1+x")2d(1+x") 2 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 极限 n n lim ln y →∞ ∑= →∞ = n k n n k n 1 ln 1 lim 等于广义积分 的值， ∫ 1 0 ln xdx 相应于将区间[0,1]分割成 , ]( 1, 2, , ) 1 [ k n n k n k = L − 的积分和式的极限， 且积分和式中的 n k f k (ξ ) = ln 。 注意到广义积分 为第二类广义积分，并且收敛，于是 ∫ 1 0 ln xdx n n lim ln y →∞ ∑= →∞ = n k n n k n 1 ln 1 lim ∫ = 1 0 ln xdx ( ln ) 1 1 0 = x x − x = − ， 所以 n n y →∞ lim = = →∞ n n n ! limn e 1 。 类似方法可以计算 π π π 2 sin sin `1 lim 1 0 1 = = ∑ ∫ = →∞ xdx n k n n k n 。 其中 n k k xk k π ,sinξ sin 1 ∆ = = 。请看 2004 年考题： （2004-209） n n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 limln 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ L 等于 [B] ( )∫ Α 2 1 2 ln xdx. ( ) ∫ Β 2 1 2 ln xdx. ( ) ( ) ∫ + 2 1 C 2 ln 1 x dx. ( ) ( ) ∫ + 2 1 2 D ln 1 x dx. 【解】 n n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 limln 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ L ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + →∞ n n n n n n 1 2 1 1 ln 1 2 lim L ∑= →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + n k n n k n 1 ln 1 1 2 lim ( ) ∫ = + 1 0 2 ln 1 x dx ∫ = 2 1 2 ln tdt = (B)。 2 ln 2( ln ) 4 ln 2 2 2 1 2 1 = = − = − ∫ tdt t t t 例 8.12 设 ∫ + − = + ( 1) 0 1 1 2 3 n n n n an x x dx ，则 = →∞ n n lim na [ B ]。 (A)(1 ) 1。 (B) 3 / 2 + e + ) 1 1 (1 3/ 2 + − e 。 (C) ) 1 1 (1 3 / 2 + + e 。 (D)(1 ) 1。 3/ 2 + e − 【解】 积分得 (1 ) (1 ) 1 2 3 1 2 /( 1) 0 n n n n n x d x n a = ⋅ + + ∫ + 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 6 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805