万学教育海文考研 所以Ax=B的通解为k0+0,k为任意常数。 0)(0 (21)(本题满分11分) 设A为3阶矩阵,a12a2为A的分别属于特征值-1,1特征向量,向量a3满足Aa3=a2+a3, 证明(1)a2a2a3线性无关 (2)令P=(a1,a2a3),求PAP 解:(1)假设a,a2线性相关,则a3可由a1,a2线性表出,不妨设a3=11+l2a2,其 中h1不全为若小同时为0.则a为0,由A=+2可知a2=0) Aa,=-a,, Aa=a2 ∴Aa3=a2+a3=a2+1a1+22 又Aax=4(l(a1+1a2)=-1q1+l2a2 1a1+la2=a2+1a1+la2,整理得:2a+a2=0 则a,a2线性相关,矛盾(因为a,a2分别属于不同特征值得特征向量,故a12线性无关) 故:a12a2a3线性无关 (2)记P=(aq23)则P可逆,A(a1a2a1)=(Ax1,Aax) a2a2+a3)=( 即:AP=P011 P-AP=0 11 001) (22)(本题满分11分) 设随机变量X与Y相互独立,X概率分布为P{X=)=(i=-10.1),Y的概率密 第10页共12页万学教育 海文考研 第 10 页 共 12 页 所以 Ax B = 的通解为 1 0 0 1 0 0 , 0 0 k k                 +                 为任意常数。 （21）（本题满分 11 分） 设 A 为 3 阶矩阵， 1 2 a a, 为 A 的分别属于特征值−1,1 特征向量，向量 3 a 满足 Aa a a 3 2 3 = + ， 证明（1） 1 2 3 a a a , , 线性无关； （2）令 P a a a = ( 1 2 3 , , ) ，求 1 P AP − . 解：（1）假设 1 2 3    , , 线性相关，则  3 可由 1 2  , 线性表出，不妨设 3 1 1 2 2    = + l l ，其 中 1 2 l l, 不全为零（若 1 2 l l, 同时为 0，则  3 为 0，由 A   3 2 3 = + 可知 2  = 0 ） 1 1 A  = − , A  2 2 =  A l l       3 2 3 2 1 1 2 2 = + = + + 又 3 1 1 2 2 1 1 2 2 A A l l l l      = + = − + ( )  1 1 2 2 2 1 1 2 2 − + = + + l l l l      ，整理得： 1 1 2 2 0 l + = 则 1 2  , 线性相关，矛盾（因为 1 2  , 分别属于不同特征值得特征向量，故 1 2  , 线性无关）. 故： 1 2 3    , , 线性无关. （2）记 1 2 3 P = ( , , ),    则 P 可逆， 1 2 3 1 2 3 A A A A ( , , ) ( , , )       = 1 2 2 3 = − + ( , , )     1 2 3 1 0 0 ( , , ) 0 1 1 0 0 1      −   =       即： 1 0 0 0 1 1 0 0 1 AP P   −   =       ， 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 P AP −   −   =       . （22）（本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 概率分布为   ( ) 1 1,0,1 3 P X i i = = = − ，Y 的概率密