第五章向量分析 上式两端同除以D的体积,并且令r→>0,便得到 ∞从(M,1)=-dhv((M,)(M,) 这就是流体动力学中的连续性方程 例2:利用 Gauss公式计算第二型曲面积分 (-x)dy a dz+(=-yXz a dx(x-z)dx a dy 其中S为曲面z=1-x2-y(二≥0)的上侧 解:为用 Gauss公式,先加上S1 S1:xoy平面上的圆盘x2+y≤1的下侧 使S∪S,形成封闭曲面;Ω为S和S围成的区域 又令F(x,yz)=(y2-x)+(x2-y)+(x2-z)k 则由 Gauss公式 4△=F=(1 l[rbr「d=-6丌|r(1-r= 另一方面 vends=-J(x2-s)drdy=- defr2cos'erdr 于是由以上两式及 Gauss公式得到 Jo2-xdy Ad=+(2-y)d= Adx+(x-aydxAdy ∫F4=手F·ds- 「IYv.F-「F·ds 例3:液体浮力的阿基米德原理。水的压强是一矩阵 00 P=00,面积元所受之水压 力 d=-ps=-0:0s 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 上式两端同除以 Dr 的体积,并且令 r →0,便得到 (M ,t) div( (M ,t)U(M ,t)) t      = − 这就是流体动力学中的连续性方程. 例 2:利用 Gauss 公式计算第二型曲面积分 ( ) ( ) ( ) . 2 2 2 y x dy dz z y dz dx x z dx dy S −  + −  −   其中 S 为曲面 z = 1− x − y z  0 2 2 ( ) 的上侧. 解: 为用 Gauss 公式，先加上 S1 S1 : xoy 平面上的圆盘 2 2 x + y  1 的下侧, 使 S S1 形成封闭曲面;  为 S 和 S1 围成的区域. 又令 ( , , ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 F x y z y x i z y j x z k     = − + − + − 则由 Gauss 公式       +  =   = − − − S S F dS F dv dv 1 ( ) ( 1 1 1)    = . 2 3 3 6 (1 ) 2 0 1 0 1 0 1 0 2 2     − = − − = −     − dr r d rdr dz r r 另一方面     +  • = − − = − = 1 2 2 1 2 0 1 0 2 2 2 . 4 ( ) cos S x y v ndS x z dxdy d r rdr     于是由以上两式及 Gauss 公式得到 . 6 7 2 3 3 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2             =   −  = − + = − =  =  −  −  + −  + −  S S S S FdV F dS F dS F dS F dS y x dy dz z y dz dx x z dx dy          例 3: 液体浮力的阿基米德原理。水的压强是一矩阵：           = z z z p 0 0 0 0 0 0 ,面积元所受之水压 力 dS z z z dP pdS              = − = − 0 0 0 0 0 0 0 n0 x dS  z