银川能源学院《高等数学》救案 第三章徽分中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数x)在点0的某邻域U(xo)内有定义，并且在0处可导，如果对任 意xeUx,有 x)xo)(或x)2xo), 那么f'(xo)=0. 罗尔定理如果函数y=x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可 导，且有ab),那么在(a,b)内至少在一点5，使得f"(=0. 简要证明：(1)如果x)是常函数，则f'(x)=O,定理的结论显然成立 (2)如果x)不是常函数，则x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值 点，不妨设有一最大值点∈(a,b).于是 f③=f=mff组20， x Γx-5 r0=g0=mff组<0， 5X-5 所以f"(x)=0. 罗尔定理的几何意义： 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b) 内可导，那么在(a,b)内至少有一点(a<b),使得等式 b)-a=f'(5(b-a) 成立 拉格朗日中值定理的几何意义： J()(b)-I(a) b-a 定理的证明：引进辅函数 令x=fx-fa-⑥-f@r-a. b-a 容易验证函数x)适合罗尔定理的条件：o(a=b)=0,o(x)在闭区间[a,b]上 连续在开区间(a,b)内可导，且 p'x片f'xb)-f@ b-a 根据罗尔定理，可知在开区间(a,b)内至少有一点5，使0'(=0，即 f'(5分-fb-f@-0 b-a 由此得 fb-f@=f"(9, b-a 即 b)-fa)=f'((b-a). 定理证毕 b)-a)=f'(b-a)叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b<a也成立. 拉格朗日中值公式的其它形式： 第2页银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 2 页 第一节 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域 U(x0)内有定义 并且在 x0 处可导 如果对任 意 xU(x0) 有 f(x)f(x0) (或 f(x)f(x0)) 那么 f (x0)0 罗尔定理 如果函数 yf(x)在闭区间[a, b]上连续 在开区间(a, b)内可 导 且有 f(a)f(b) 那么在(a, b)内至少在一点  使得 f ()0 简要证明 (1)如果 f(x)是常函数 则 f (x)0 定理的结论显然成立 (2)如果 f(x)不是常函数 则 f(x)在(a b)内至少有一个最大值点或最小值 点 不妨设有一最大值点(a b) 于是 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim                x f x f f f x  0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim                x f x f f f x  所以 f (x)=0. 罗尔定理的几何意义 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 在开区间(a b) 内可导 那么在(a b)内至少有一点(a<<b) 使得等式 f(b)f(a)f ()(ba) 成立 拉格朗日中值定理的几何意义 f () b a f b f a  ( ) ( )  定理的证明 引进辅函数 令 (x)f(x)f(a) b a f b f a  ( ) ( ) (xa) 容易验证函数 f(x)适合罗尔定理的条件 (a)(b)0 (x)在闭区间[a b] 上 连续在开区间(a b)内可导 且 (x)f (x) b a f b f a  ( ) ( )  根据罗尔定理 可知在开区间(a b)内至少有一点 使 ()0 即 f () b a f b f a  ( ) ( ) 0 由此得 b a f b f a  ( ) ( )  f ()  即 f(b)f(a)f ()(ba) 定理证毕 f(b)f(a)f ()(ba)叫做拉格朗日中值公式 这个公式对于 b<a 也成立 拉格朗日中值公式的其它形式