4.6.哈密顿一雅可比方程(积分 Hamilton正则方程的 Jacobi方法) 1.正则变换的目的是使尽可能多的正则变量成为循环坐标,以得到尽可能多的循 环积分。最理想的情况是:经过正则变换,使新的哈密顿量H*=0,于是P=0 Q。=0,即所有新的正则变量都成为循环坐标,所以P==常数,Q=5= 常数(a=1,2,…,S) 利用由正则变换充分条件∑(Pn+QB)+(H-H)h=dF(q,P)得到的 aF2 aF2 P Q t aP 于是得到正则变换的母函数应满足的偏微分方程 aF2 (q, n,t) aF g, t 由于方程中只含未知函数F2的偏导数,不含未知函数本身,因此方程(1)可以改写为: t|=0 ot 其中S(qn1)=F(q7)+C(2) 方程(1)或(1)称为 Hamilton-Jacobi方程,S称为 Hamilton主函数。这是一阶偏微分 方程,未知函数S是qn,1共S+1个自变量的函数,完全解S应含有(s+1)个常数,其中F2含 有s个常数n,所以S中有一个相加常数C是理所应当的 Hamilton主函数(积分限不确定的哈密顿作用量,因此又称哈密顿作用函数)的物理意义: s=lLdt (7) (7)式中的积分是不定积分(S应含一个相加常数C)。证明过程见教材266页。由证明过 程可见,在积分时,应将拉格朗日函数中的q,q视作t的函数,(【注意】 L 两者是不同的。)因此在解得正则方程之前,是无法具体求出S=S(q7)的。(利用前式积 分S=-HM其中q,=P在积分过程中视作常数,但H=H(pq)其中p是1的怎 样的函数在解得正则方程之前是未知的,因此在解得正则方程之前,也是无法具体求出 S=S(q,71)的。)(7)式不能作为HJ方程的完全解进一步去求正则方程的积分。为此我 们必须另辟途径去求HJ方程的完全解。(求S的方法放在第3段讨论)5 4．6．哈密顿—雅可比方程（积分 Hamilton 正则方程的 Jacobi 方法） 1．正则变换的目的是使尽可能多的正则变量成为循环坐标，以得到尽可能多的循 环积分。最理想的情况是：经过正则变换，使新的哈密顿量 H* 0 = ，于是 P 0  = ， Q 0  = ，即所有新的正则变量都成为循环坐标，所以 P  = =常数， Q  = = 常数 ( =1,2, ,s) 。 利用由正则变换充分条件 ( ) ( ) ( ) * 2 1 , , s p dq Q dP H H dt dF q P t     =  + + − = 得到的 F2 * H H t  = −  ， F F 2 2 p Q q P       = =   ， 于是得到正则变换的母函数应满足的偏微分方程 2 ( ) 2 , , , , 0 F q t F H q t t q      + =       (1) 由于方程中只含未知函数 F2 的偏导数，不含未知函数本身，因此方程(1)可以改写为： , , 0 S S H q t t q    + =      (1’) 其中 S q t F q t C ( , , , ,   ) = + 2 ( ) （2） 方程(1)或（1’）称为 Hamilton-Jacobi 方程， S 称为 Hamilton 主函数。这是一阶偏微分 方程，未知函数 S 是 q t,  共 s +1 个自变量的函数，完全解 S 应含有 ( 1) s + 个常数，其中 F2 含 有 s 个常数  ，所以 S 中有一个相加常数 C 是理所应当的。 Hamilton 主函数（积分限不确定的哈密顿作用量，因此又称哈密顿作用函数）的物理意义：  S = Ldt （7） （7）式中的积分是不定积分（ S 应含一个相加常数 C ）。证明过程见教材 266 页。由证明过 程可见，在积分时，应将拉格朗日函数中的 q q, 视作 t 的函数，（【注意】 , S dS H L t dt  = − =  两者是不同的。）因此在解得正则方程之前，是无法具体求出 S S q t = ( , ,  ) 的。（利用前式积 分 S Hdt = − 其中 q P ,     = 在积分过程中视作常数，但 H H p q t = ( , , ) 其中 p 是 t 的怎 样的函数在解得正则方程之前是未知的，因此在解得正则方程之前，也是无法具体求出 S S q t = ( , ,  ) 的。）（7）式不能作为 H-J 方程的完全解进一步去求正则方程的积分。为此我 们必须另辟途径去求 H-J 方程的完全解。（求 S 的方法放在第 3 段讨论）