216 数字图像处理（第三版） 5.5线性、位置不变的退化 图像复原前，图5.1中的输入输出关系可以表示为 g(x,y)=H[f(x.y)]+n(x.y) (5.5-1ù 现在，让我们假设nxy)=0.则gx)=H[f(x,y)]。基于2.6.2节的讨论，如果 H[af (x.y)+bf (x.y)]=aH[f (x.y)]+bH[f(x.y)] (5.5-2) 则系统H是一个线性系统.其中a和b是标量，fc,y)和5x,y)是两 幅输入图像。 一关于线性系统理论的简要回 顾。请参阅本书的网站 若a=b=1.则式(5.5-2)变为 H[f(.y)+f(x.y)]=H[(x.y)]+H[f(x.y)] (5.5-3 这就是所谓的加性。这一特性简单地表明。如果H为线性算子，那么两个输入之和的响应等于两个 啊应之和。 如果6x,)=0则式5.5-2)变为 H[af (x.y)]=aH[f(x.y)] (5.5-4) 我们称之为均匀性。它表明任何与常数相乘的输人的响应等于该输入响应乘以相同的常数，即一个线 性算子具有加性和均匀性。 个算子对于任意x以，a和B,如果 H[f(x-a.y-B)]=g(x-a,y-B) (5.5-5) 则输人输出关系具有gx)=H:,川的算子称为位置（或空间）不变系统。该定义说明图像中任意 点处的响应只取决于该点处的输人值，而与该点的位置无关。 在式(4.5-3)中，稍微（等效）改变一下离散冲激函数定义的符号. 关于连续与离敢变量的讨论。请 参阅5.113节9在 就可将f(x,)表示为 f(x.y)=[--f(a.B)5(x-a.y-B)dadB (5.5-6 再次假设化，)=0.然后把式(5.5-6)代人式(5.51)可得 gxn=H/x川=H[fa,Box-a,y-)dad邮 (5.5.7 如果H是线性算子，且我们把加性性质扩展到积分，则有 &(x.y)=[[HIf(a.B)6(x-a.y-B)]da dB (5.5-8 由于f(,B)独立于x和y.使用均匀性可得 gxW=∫Jfa,BH[6x-a,y-dad明 (5.5.9 公式 36网 h(x,a.y.B)=H[(x-a.y-B)] (5.5-10) 称为系统H的冲激响应。也就是说，在式65-1)中，如果化)=0，则c:,yB)是系统H对坐