第5章图像复原与重建 我们所看到的事物并不是事物的本身…物体本身是什么对我们而言完全 是未知的，并且远离我们的感知，除了对物体的感知，我们什么也不知道 伊曼努尔·康德 引言 正像图像增强那样。图像复原技术的主要目的是以预先确定的目标来改善图像。尽管两者有相 覆盖的领域，但图像增强主要是一个主观过程，而图像复原则大部分是一个客观过程。图像复原试疼 利用退化现象的某种先验知识来复原被退化的图像。因而，复原技术是面向退化模型的，并且采用相 反的过程进行处理，以便恢复出原图像。 这种方法通常都会涉及设立一个最佳准则，它将产生期望结果的最佳估计。相比之下，图像增 强技术基本上是一个餐索性过程.即根据人类视觉系统的生理特点来设计一种改善图像的方法。例如， 对比度拉伸被认为是一种增强技术，因为它主要基于给观看者提供其喜欢接受的图像。而通过去模 函数去除图像模糊则被认为是一种图像复原技术。 本章中给出的素材严格地说只是介绍性的。我们仅从给出的一幅退化数字图像的特点来考虑复 原问题：因此对传感器、数字化转换器和显示退化等话题考虑得较少。尽管这些主题在图像复原应用 的整个处理中非常重要，但它们超出了本章所要讨论的范围。 正如第3章和第4章中讨论的那样，一些空间域复原技术已很好地阐述过了，而另一些复原 术则更适用于频率域。例如，当退化仅仅是加性噪声时，空间处理就非常适用。另一方面，如图像模 糊这样的退化在空间域使用较小的滤波模板就很困难。在这种情况下，基于不同优化准则的频率域滤 波是可选择的方法。这些滤波器同样也考虑到了噪声的存在。正如第4章中所讲的那样，频率域中用 来解决给定应用的复原滤波器通常作为生成一个数字滤波器的基础，数字滤波器的程序操作更适合于 用硬件或固件来实现 5.1节介绍图像退化复原过程的一个线性模型。5.2节处理实我中经常西到的各中燥声模型。53节 阐述降低图像噪声的几种空间滤波技术，即通常称为图像去噪的处理。5.4节致力于使用频率域降噪的技 术。55节介绍图像退化的线性、位置不变模型，5.6节介绍估计退化函数的方法。5.7节至5.10节阐述基 本的图像复原方法。本章最后（见5.11节拘）介绍由投影来承建图像。这一概念的主要应用是计算断层(CT) 图即像处理在康领城最为重要的一种商业应用
第5章图像复原与重建 197 5.1图像退化/复原过程的模型 如图5.1所示，在本章中，退化过程被建模为一个退化函数和一个加性噪声项，对一幅输人图像 f(x)进行处理，产生一幅退化后的图像gx。给定g红，)和关于退化函数H的一些知识以及关 于加性噪声项n化，)的一些知识后，图像复原的目的就是获得原始图像的一个估计广(x,)。通常， 我们希望这一估计尽可能地接近原始输人图像，并且H和的信息知道得越多，所得到的广(xy)就 会越接近x)。在本章中使用的大部分复原方法都是以不同类型的图像复原滤波器为基础的。 正如55节所示，如果H是一个线性的、位置不变的过程，那么空间域中的退化图像可由下式给出： g(x.y)=h(x,y)★f(x,y)+刀(x,y) (5.1-1) 其中，xy是退化函数的空间表示：与第4章相同，符号“★”表示空间卷积。由4.6.6节的讨论可 知，空间域中的卷积等同于频率域中的乘积，因此可以把式(5.1)中的模型写成等价的频率域表示： G(u,v)=H(u.v)F(u,v)+N(u,v) (5.1-2 其中的大写字母项是式(5.11)中相应项的傅里叶变换。这两个公式是本章中大部分复原内容的基础 (x.y) f,)> 化函数 复原滤被卷 f.v) 退化 复原 图5.】图像退化复原过程的模型 在接下来的三节中，我们假设H是一个同一性算子，并且只处理由噪声引起的退化。从5.6节开 始，我们考虑若干重要的图像退化函数，并考虑几个H和刀同时存在的图像复原方法。 5.2噪声模型 数字图像中。噪出主要来源于图像的获取和或传输过时程。成像传成器的性能受各种因素的影响 如图像获取过程中的环境条件和传感元器件自身的质量。例如，在使用CCD摄像机获取图像时，光 照水平和传感器温度是影响结果图像中噪声数量的主要因索。图像在传输中被污染主要是由于传输信 道中的干扰。例如，使用无线网络传输的图像可能会因为光照或其他大气因素而污染 5.2.1噪声的空间和频率特性 与我们的讨论相关的是定义噪声空间特性的参数，以及噪声是否与图像相关。频率特性是指傅 里叶域中噪声的频率内容（即相对于电磁波谱的频率）。例如，当噪声的傅里叶谱是常量时，噪声通常 称为白噪声。这个术语是从白光的物理特性派生出来的，它以相等的比例包含可见光谱中的几乎所有 频率。从第4章的讨论中不难看出，以相同比例包含所有频率的函数的傅里叶谱是一个常量。 除了空间周期噪声（见5,2.3节）之外.在本章中我们假设噪声独立于空间坐标，并且噪声与图像3网 本身不相关（即像素值与噪声分量的值之间不相关）。虽然这些假设至少在某些应用中（例如X射线和5
198 数字图像处理（第三版） 核医学成像的有限量子成像就是一个很好的例子)是无效的、但处理空间相关和相关性噪声的复杂性 超出了我们讨论的范围。 5.2.2一些重要的噪声概率密度函数 基于前一节的假设，我们关心的空间噪声描述子就是图5.1中模型的噪声分量中灰度值的统计特 性。可以认为它们是由概率密度函数(PDF)表征的随机变量。下面是 二一关于假率论的简要回。请 在图像处理应用中最常见的PDF。 在阅本书的网站 高斯噪声 在空间域和频率域中，由于高斯噪声在数学上的易处理性，故实践中常用这种噪声（也称为正态 桑声)模型。事实上，这种易处理性非常方便，以至于高斯模型常常应用于在一定程度上导致最好结 果的场合。 高斯随机变量z的PDF由下式给出： p(:) 1 e-(:-EY/2o (5.2-1) 其中，：表示灰度值，乏表示z的均（平均@值，。表示z的标准差。标准差的平方σ称为：的方差。高 斯函数的曲线如图5.2(a)所示。当z服从式(5.21)的分布时，其值有大约70%落在范（乏一o,(?+o列引 内.有大约95%落在范I(乏-2，（乏+21内。 p() V2和 高新 060月 端利 马 b-1/a 川2) P 物数 b-a 均匀 图5.2一些重要的概率密度函数 瑞利噪声 瑞利噪声的PDF由下式给出： ①在本节中我使用？面不是m来表示均值的原因是，避免我们在后面使用和来表示邻线大小时妈引起混清
第5章图像复原与重建 199 p(2)= (5.22) o. 20.b为正整数，并且“”表示阶乘。其概率密度的均值和方差由 (5.2.6) 和 (52-7) 给出。图5.2()显示了伽马分布密度的曲线，尽管式(5.25)经常称之为伽马密度，但严格地说，这只 有在分母为伽马函数T(b)时才是正确的。当分母如表达式所示时，该密度称为爱尔兰密度更合适。 指数噪声 指数噪声的PDF由下式给出 n)- z0。该概率密度函数的均值和方差是 (5.2.9) 和 (52.10) 注意，这个PDF是当b=1时爱尔兰PDF的特殊情况。图5.2(d)显示了该密度函数的曲线 均匀噪声 均匀噪声的PDF由下式给出：
200 数字图像处理（第三版） p(z)=b-a' a≤z≤b (52-11) 其他 该密度函数的均值由下式给出： 2=0+b (5.2-12 2 它的方差由下式给出： g2=6- (5.2-13) 12 图5.2(e)显示了均匀密度的曲线 脉冲（椒盐）噪声 (双极)脉冲噪声的PDF由下式给出： Pa. z=0 p(2)=B. 2=b (52-14) 1-B -B. 其他 如果b>a,则灰度级b在图像中将显示为一个亮点；反之，灰度级a在图像中将显示为一个暗点。 若P,或P。为零，则脉冲噪声称为单极脉冲。如果P和P,两者均不可能为零，尤其是它们近似相等 时，则脉冲噪声值将类似于在图像上随机分布的胡椒和盐粉微粒。由于这个原因，双极脉冲噪声也 为椒盐噪声。这种类型的噪声也可以使用散粒噪声和尖峰噪声来称呼。在下面的讨论中，我们将交替 使用脉冲噪声和椒盐噪声这两个术语。 噪声脉冲可以为正也可以为负。标定通常是图像数字化处理的一部分。因为，与图像信号的强 度相比，脉冲污染通常较大，所以在一幅图像中脉冲噪声通常被数字化为最大值（纯黑或纯白）。这样， 通常假设和b是饱和值，从某种意义上看，在数字化图像中，它们等于所允许的最大值和最小值 由于这一结果，负脉冲以一个黑点（胡椒点）出现在图像中。由于相同的原因，正脉冲以白点（盐粒点） 出现在图像中。对于一幅8比特图像.典型地，这意味者a=0(黑)和b=255(白)。图5.2(0显示了 脉冲噪声的概率密度函数(PD) 前述的一组PDF为在实践中建立宽带噪声污染状态的模型提供了有用的工具。例如，在一幅图 像中，高斯噪声源于诸如电子电路噪声以及由低照明度和/或高温带来的传感器噪声。瑞利密度有助 于在深度成像中表征噪声现象。指数密度和伽马密度在激光成像中有用。正如前段所提及的那样，脉 冲噪声在快速过渡的情况下产生，如在成像期间发生的错误开关操作。均匀密度可能是实践中描述得 最少的，然而，均匀密度作为仿真中使用的许多随机数生成器的基础是非常有用的（见Peeblesl1993 和Gonzalez,Woods and Eddins2004)。 例5.1噪声图像及其直方图。 图53显示了一幅非常适合于闸述闪刚刚讨论的噪声模型的测试图 案。这是一幅适合使用的图案，因为它是由简单的、恒定的区域所组 成的，且其从黑到近似于白仅仅有3个灰度级增长跨度。这方便了附 加在图像上的各种噪声分量特性的视觉分析。 图5.4显示的是叠加了本节所讨论的6种噪声的测试图案。每幅 图5.3用于说明显示在图52中的 图像下面所示的是从图像直接计算得到的直方图。在每种情况下选择 噪声PDF特性的测试图案
第5章图像复原与重建 201 了噪声的参数，以便对应于测试图案中3种灰度级的直方图会开始合并。这使得噪声十分显著，而不会 遮蔽底层图像的基本结构。 出校图5.4中的有方图和图52中的概率密度函数，可以看到很接近的对应关系。对于椒盐噪声示例的直 方图在密度标度的白端有一个额外的尖峰，因为噪声分量为纯黑或纯白，并且在测试图案中最亮的分量（圆） 是亮灰度。除了少许亮度不同外，在图5.4中很难区别出前5幅图像有什么显著不同，即使它们的直方图有明 显的区别。由脉冲噪声污染的图像的椒盐噪声的外观是唯一一种啊引起退化的、视觉上可区分的噪声类型。 指数 均匀 散盐 图54对图5.3中的图像添加高斯、瑞利、伽马、指数、均匀和椒盐噪声后的图像与直方图 5.2.3周期噪声 一幅图像中的周期噪声是在图像获取期间由电力或机电干扰产生的。这是在本章中讨论的唯一的 一种空间相关噪声。正如5.4节所讨论的那样，周期噪声可通过频率域滤波来显著地减少。例如 考虑图5.5(a)中的图像。这幅图像被不同频率的（空间）正弦噪声严重干扰了。一个纯正弦波的傅里叶变 换是位于正弦被共距顿率处的一对共轭脉神①（见表43）。因此，如果空间域中正弦波的振辐足够强我 们在该图像的谱中将看到图像中每个正弦波的脉冲对。如图55⑥)所示，确实如此，由于在这个特殊 例子中频率值是这样安排的，所以脉冲以一个近似的圆出现。在5.4节我们将进一步讨论此问题，以 及周期噪声的其他例子。 ①注意不要混淆颗率域中的术语脉冲与琳冲燥声中使用的同一未语
202 数字图像处理（第三版） a b 图55(a)被正弦噪声污染的图像：(6)谱（每对共轭脉冲对应于一个正弦波（原图像由NASA提） 5.2.4噪声参数的估计 典型地。周期噪声的参数是通过检测图像的傅里叶谱来估计的。正如前几节提及的那样，周期噪 声趋向于产生频率尖峰，甚至通过视觉分析也经常可以检测到这些尖峰。另一种方法是试图直接由图 像推断出噪声分量的周期性，但这仅在非常简单的情况下才是可能的。在噪声尖峰格外显著或可以使 用关于干扰的频率分量一般位置的某些知识时，自动分析是可能的 噪声PDF的参数一般可以从传感器的技术说明中得知，但对于特殊的成像装置通常需要估计这 些参数。如果成像系统可用，那么研究系统噪声特性的一种简单方法是获取一组“平坦”环境的图像 例如，在光学传感器的情况下，这像对一个光照均匀的纯色灰度板成像一样简单。结果图像是典型的 系统噪声的良好指示器。 当仅有通过传感器生成的图像可用时，通常可由合理的恒定灰度值的一小部分来估计PDF的 参数。例如，图5.6所示的垂直条带(150×20像素)是从图5.4中所示的高斯、瑞利和均匀图像中截取 的。所显示的直方图是使用这些小条带的图像数据计算出来的。与图5.6中的直方图对应的图5.4中 的直方图.是图5.4(d)、图54(e)和图5.4k)这三组直方图中间的一组。我们可以看出，这些对应的 直方图的形状非常接近于图5.6中的直方图的形状。由于缩放的原因，它们的高度不同，但形状明 显类似。 a b c 图5.6使用小条带（显示为桶图从图5.4中的(a)高斯、(）瑞利和（©）均噪声图像计算的直方图 来自图像条带数据的最简单的用途是计算灰度级的均值和方差。考虑由S表示的一个条带（子图 像)，并今P5(),i=0,1,2,…,L-1表示S中像素灰度的概率估计（归一化直方图饱，其中L是整 个图像中可能的灰度数（例如，对于8比特图像，L为256）。如第3章那样，我们估计S的均值和方 差如下： -P() (5.2-15) 图 。-公-ana (5.2-16)
第5章图像复原与重建 203 直方图的形状确定最接近的PDF匹配。如果其形状近似于高斯，那么均值和方差正是我们所需 要的.因为高斯PDF完全由这两个参数指定。对于5.22节讨论的其他形状，我们使用均值和方差米 解出参数α和b。使用不同的方法来处理脉冲噪声，因为需要的估计是黑、白像素发生的实际概率。 获得这些估计值需要黑白像素是可见的，因此为了计算直方图，图像中需要有一个相对恒定的中等灰 度区域。对应于黑、白像素的尖峰的高度是式(5.214)中P.和P,的估计值 5.3只存在噪声的复原—空间滤波 当一幅图像中唯一存在的退化是噪声时，式(5.1-1)和式(5.1-2)变成 g(x.y)=f(x.y)+n(x.y) (5.3-) G(,v)=F(M,)+N(u,v) (5.3-2) 噪声项是未知的，故从gK)或G私，中减去它们不是一个现实的选择。在周期噪声的情祝下，由G山，) 的谱来估计M4,通常是可能的、正如5.2.3节所述。在这种情况下，从G(4,)中减去N山，)可得到 原图像的一个估计。然而，这种类型的知识通常只是例外而不是规律。 当仅存在加性噪声的情况下可以选择空间滤波方法。空间滤波已在第3章中详细讨论过了。 除了执行一种特定的滤波来计算特性以外，下面实现的所有滤波的机理完全与35节和3.6节中讨论 过的一样。 5.3.1均值滤波器 在本节中，我们简要地讨论35节中介绍过的空间滤波器的降噪能力，并探讨一些其他的滤波器， 这些滤波器的性能在许多情况下要优于3.5节中所讨论的滤波器的性能。 算术均值滤波器 这是最简单的均值滤波器。令S,表示中心在点(x,y)处、大小为mxn的矩形子图像窗口（邻域） 的一组坐标。算术均值滤波器在S。定义的区域中计算被污染图像 假设m和是奇整数 gx,)的平均值。在点(xy)处复原图像子的值.就是简单地使用5 定义的区域中的像素计算出的算术均值，即 fx.)产mm点 1∑g,0 (5.33) 这个操作可以使用大小为m×n的一个空间滤波器来实现。其所有的系数均为其值的1mn。均值滤波 平滑一幅图像中的局部变化。虽然模糊了结果，但降低了噪声。 几何均值滤波器 使用几何均值滤波器复原的一幅图像由如下表达式给出： ixy=[Π8,0 (5.34) 其中，每个复原的像素由子图像窗口中像素的乘积的1m次幂给出。如例5.2所示，几何均值滤波 器实现的平滑可与算术均值滤波器相比。但这种处理中丢失的图像细节更少
204 数字图像处理（第三版） 谐波均值滤波器 谐波均值滤波操作由如下表达式给出： f(x.y)=- (5.3.5 1 点n 谐波均值滤波器对于盐粒噪声效果较好，但不适用于胡椒噪声。它善于处理像高斯噪声那样的其他 噪声 逆谐波均值滤波器 逆谐波均值滤波器基于如下表达式产生一幅复原的图像： ∑ga,)e x)= (5.3-6) 其中Q称为滤波器的阶数。这种滤波器适合减少或在实际中消除椒盐噪声的影响。当Q值为正时， 该滤波器消除胡椒噪声：当Q值为负时，该滤波器消除盐粒噪声。但它不能同时消除这两种噪声。注 意。当Q=0时，逆谐波均值滤波器简化为算术均值滤波器：而当Q=-1时，则为谐波均值滤波器 例52均值滤波器的说明 图5.7(a)显示了一块电路板的8比特X射线图像，图5.7(6)显示了相同的图像，但图像已被均值为零 方差为400的加性高斯噪声污染了。对于这种类型的图像，这是非常严重的噪声。图5.7()和图5.7(@)分 别显示了使用大小为3×3的算术均值滤波器和同样大小的几何均值滤波器滤除噪声后的结果。尽管这两 种噪声滤波器对噪声的衰减都起到了作用，但几何均值滤波器并未像算术均值滤波器那样使图像变得模 糊。例如，图像顶部的连接片在图5.7()中比在图5.7(c)中更为清晰。图像的其他部分同样如此。 abcd出 图5.7(a)X射线图像：(6)被加性高斯噪声污染的图像：(@)使用大小为3x3的 算术均值滤波器对图 像滤波后的结果(@使用相同大小的几何均值滤波 器对图像滤波后的结果（原图像由Lixi公司的Joseph E Pascemte先生提供 图5.8(a)显示了同样的电路图像，但被概率为0.1的胡椒噪声污染了。类似地，图5.8(b)显示了已被 具有相同概率的盐粒噪声污染了的图像。图5.8(C)显示了使用Q=1.5的逆谐波均值滤波器对图5.8(a)滤 波的结果。图5.8(@显示了使用Q=-15的逆谐波均值滤波器对图5.86)滤波后的结果。两种滤波器都有 很好的去除噪声的效果。这种正阶滤波器除了使得暗区稍微有些淡化和模糊之外，都使背景变得更为清 圆版的收
第5章图像复原与重建 205 eH出HH 图5.8(a)被概率为0.1的胡椒噪声污染的图像：()被相同概率的盐粒噪声污染的 图像：()使用大小为3x3,阶数为15的逆 波均值滤波器对图(a)滤 后的结果：(@)使用Q=-1.5的逆谐波均值滤波器对图(6)滤波后的结果 总之，算术均值滤波器和几何均值滤波器（尤其是后者）更适合于处理高斯或均匀随机噪声。逆谐波 均值滤波器更适合于处理脉冲噪声，但它还有一个缺点，即必须知道噪声是暗噪声还是亮噪声，以便于 为Q选择的正确的符号。如果Q的符号选择错了，则可能会引起灾难性的后果，如图59所示。下面几 节讨论的一些滤波器可消除这种缺点。 图59在逆谐波滤波中选择错误符号的结果：()使用大小为3x3且Q=-15的逆谐 波滤波器对图5.8(a)滤波后的结果；(6)当Q=1.5时对图5.8(6)滤波后的结果 5.3.2统计排序滤波器 3.5.2节介绍过统计排序滤波器。我们现在扩充那一节的讨论，并介绍其他一些统计排序滤波器 正如3.5.2节所述，统计排序滤波器是空间域滤波器，空间滤波器的响应基于由该滤波器包围的图像 区域中的像素值的顺序（排序）。排序结果决定滤波器的响应 中值滤波器 最著名的统计排序滤波器是中值滤波器，如其名称所暗示的那样，它使用一个像素邻域中的灰 度级的中值来替代该像素的值，即 y)=mediang(s.) (5.37) 在化，y)处的像素值是计算的中值。中值滤波器的应用非常普遍，因为对于某些类型的随机噪声，它 们可提供良好的去噪能力，且比相同尺寸的线性平滑滤波器引起的模糊更少。在存在单极或双极脉 冲噪声的情况下，中值滤波器尤其有效。事实上，正如下面的例5.3所示，中值滤波器对于这种噪 声污染的图像可得到非常好的处理效果。这种滤波器中值的计算和实现已在352节中进行了详细网 的讨论