第10章图像分割 整体等于其部分之和 欧几里得 整体大于其部分之和 -Max Wertheimer 引言 从前一章的资料开始了一个转变，即从输入和输出都是图像的图像处理方法，转到了输入为图 像而输出为从这些图像中提取出来的属性的图像处理方法（在1.1节中的定义的意义上）。分制是这一 方向的另一个主要步骤。 分将图像细分为构成它的子区域或物体。细分的程度取决于要解决的向题。也就是说。在应 用中，当感兴趣的物体或区域已经被检则出来时，就停止分割。例如，在电子元件的自动检测中，我 们关注的是分析产品的图像，客观地确定是否存在特定的异常现象，如丢失元件或断裂的连线。超过 识别这些元素所需细节的分割是没有意义的 异常图像的分割是图像处理中最困难的任务之一。分割的精度决定着计算分析过程最终的成败。 因此，应该对改进准确分割的可能性给予相当的关注。在某些情形下，比如在工业检测的应用中，至 少对环境某些范围的典型控制还是可能的。有经验的图像处理系统设计师总是非常关注这种机会。在 其他应用中，比如自主目标获取，系统设计者无法控制操作环境，常用方法是将注意力集中于传感器 类型的选择上，在减少图像无关细节的影响的同时，很可能增强感兴趣物体。一个很好的例子是军方 使用红外线成像来检测有着较强热特性的物体，如运动中的装备和部队。 本章中的多数分割算法均基于灰度值的两个基本性质之一：不连续性和相似性。在第一类中， 方法是以灰度突变为基础分割一幅图像，比如图像的边缘。在第二类中，主要方法是根据一组预定义 的准则将一幅图像分割为相似的区域。阂值处理、区域生长、区域分 裂和区域聚合都是这类方法的例子。在本章中，我们将讨论和说明这 F多个灰度亮度)值的分制技术 些方法，并说明综合运用不同种类的方法可以改善分割的性能，例如。 的计枪，见67节和103节 边缘检测就结合了阀值处理的技术。我们还将讨论基于形态学的图像分割。这种方法特别有吸引力， 因为它基于本章第一部分给出的技术，结合了分制的一些值得肯定的属性。 最后，我们将以分割中运 动线索运用的简单讨论结束本章。 10.1基础知识 令R表示一幅图像占据的整个空间区域我们可以将图像分割视为把R分为n个子区域R.R,… R的过程，满足 712
444 数字图像处理（第三版） (a)0R=R。 (b)R是一个连通集，i=1.2,…,n。 关于连通使的讨论.请参阅252节 (c)RnR=O,对于所有i和j,i≠j (d)O(R)=TRUE.i=1.2.....n (e)Q(RUR)=FALSE,对于任何R,和R的邻接区域 其中，Q(R)是定义在集合R的点上的一个逻辑属性，并且⑦表示空集。如2.6.4节中定义的那样 符号U和门分别表示集合的并和交。如252节中讨论的那样，若R和R,的并形成一个连通集，则我 们说这两个区域是邻接的。 条件()指出，分割必须是完全的：也就是说.每个像素都必须在一个区域内。条件(6)要求一个 区域中的点以某些预定义的方式来连接（即这些点必须是4连接的或8连接的，就像25.2节中定义的 那样)。条件(c)指出，各个区域必须是不相交的。条件()涉及分割后的区域中的像素必须满足的属 性一例如，如果R中的所有像素都有相同的灰度级，则Q(R)=TRUE。最后，条件()指出，两 个邻接区域R和R,在属性Q的意义上必须是不同的P 这样，我们看到，分割中的基本问题就是把一幅图像分成满足前述条件的多个区域。通常 针对单色图像的分割算法基于处理灰度值的两类特性之一：不连续性和相似性。在第一类特性 中，假设这些区域的边界彼此完全不同，且与背景不同，从而允许基于灰度的局部不连续性来 进行边界检测。基于边缘的分割是这一类中所用的主要方法。第二类中基于区域的分割方法是 根据事先定义的一组准则把一幅图像分割成相似的几个区域。图10.1说明了前述概念。图10.1(a 显示了一幅在恒定灰度的暗背景上叠加一个恒定灰度区域的图像。这两个区城构成了整个图像区域 图10.1)显示了基于灰度的不连续性来计算内部区域的边界所得到的结果。边界内侧和外侧的点 都是黑色(O),因为在这些区域中灰度不存在不连续性。为了分割该图像，我们对该边界上或该边 界内的像素分配了一个灰度级（譬如白），而对该边界外部的所有点分配了另一个灰度（譬如黑） 图10.1(c)显示了这一处理方法的结果。我们看到，该结果满足本节开始时说明的条件(a)到(e)。条件( 的属性是：如果一个像素位于边界上或边界内，则将其标为白色否则标为黑色。我们看到，在图10.1 中，对于标为黑色和白色的点，该属性为“真”。类似地，两个分割后的区域（物体和背景）满足条 件(e)。 下面三辐图像说明了基于区域的分割。图10.1(d)类似于图10.1(a)、.但内部区域的灰度形成了 幅纹理模式。图10.1（®）显示了计算该图像的边缘的结果。很清楚，灰度中的大量寄生变化使得识别 原图像中的唯一边界很困难，因为很多非零灰度变化连接到了边界上，故基于边缘的分割不是一种 合适的方法。然而.我们注意到，外部区域是恒定的，因此，我们需要解决的这个简单分割问题的 全部就是区分纹理区域和恒定区域的一个属性。像素值的标准差是完成该任务的一种度量，因为在 纹理区域标准差非零，而在其他区域标准差为零。图10.1(D显示了将原图像分成大小为4x4的几个 子区域后的结果。若某个子区域中的像素的标准差为正（即如果属性为“真”），则将该子区域标记为 白色：其他为零。其结果是在区域边缘周围有“块”效应出现，因为4x4的方块组被标记为相同的 灰度。最后，注意这些结果也满足本节开始处说明的5个条件。 固
第10章图像分割 445 图10.】（包含恒定灰度区域的图像：6）显示内部区域边界的图像，该图像是由灰度不连续性获得的：（⊙）将 图像分制成两个区域后的结果：(d包含一个纹理区域的图像：（⊙计算边缘后的结果。注意。由于存在大量 连接到原始边界的小边缘，仅使用边缘信息是很难找到一条唯一的边界的；（们基于区域特性的分结果 10.2点、线和边缘检测 本特将售中在以灰度局部别列恋化拾则为基电的分割方法上。我们成兴趣的二种图像特征是加 立点、线和边缘。边缘像素是图像中灰度突变的那些像素，而边缘（成边缘线段）是连接的边缘像素的 集合（关于连接性的定义，见25.2节）。边缘检测器是设计用来检测边缘像素的局部图像处理方法。一条 线可视为一条边缘线段，该线两侧的背景灰度要么远亮于该线像素的灰度，要么远暗于该线像素的灰 度。事实上，如下节及102.4节中讨论的那样，线会引起所谓的“屋顶 边缘”。类似地，孤立点可视为一条线，只是其长度和宽度都为一个像素。 当我们说到线时。实际上是指那 些较细的结构，它通常只有几个像 10.2.1背景知识 正如在2.63节和3.5.1节我们所看到的局部平均平滑一幅图像那样，假设平均处理类似于积分 对于灰度的突变，局部变化可以用微分来检测应该并不奇怪。由于变化非常短促，因此一阶微分和二 阶微分特别适合于这种目的。 数字函数的导数可用差分来定义。就像3.6.1节中解释的那样，近似这些差分的方法有多种，但 对于用于一阶导数的任何近似，我们要求：(1)在恒定灰度区域必须为零：(2)在灰度台阶或斜坡开 始处必须不为零：(3)在沿灰度斜坡点处也必须不为零。类似地，对于所用的二阶导数的近似，我 们要求：()在恒定灰度区域必须为零；（②）在灰度台阶或斜坡的开始 处和结束处必须不为零：(3)沿灰度斜坡必须为零。因为我们处理的 回忆242节可知，为表达清张， 图像样本间的增量定义为1。因此( 是数字量，故它们的值是有限的，最大可能的灰度变化也是有限的。 式1021)的推导中使用了△x=1。 且在其上发生变化的最短距离是在两个邻接像素间的距离。 我们按如下方式来得到一维函数f)在点x处的导数的近似：将函数f(x+△x)展开为关于x的 泰勒级数，令△x=1,且只保留该级数的线性项（见习题10.）。结果是数字差分 (10.2-1 当我们考虑一个两变量的图像函数∫化时，为了表示的一致性，这里我们使用了偏微分，此时， 我们将处理沿两个空间轴的偏微分。很明显。当函数f只有一个变量时，有f/x=d山1d山
446 数字图像处理（第三版） 对式(10.21)关于x微分，我们得到一个二阶导数表达式： a1_fr国=fx+0-f国 ax x =f(x+2)-f(x+l)-f(x+l)+f(x) =f(x+2)-2f(x+1)+f(x) 其中，第二行来自式(10.21)。这一展开是关于点x+1的。我们的兴趣是关于点x的二阶导数，故将 上式中的变量减1后，得到 =r=++x-0-2因 (10.2-2 dx 很容易证明式(10.21)和式(102-2)满足本节开始时说明的关于一阶和二阶导数的条件。为了说明这 一点，并强调一阶导数和二阶导数在图像处理中的基本相同点和不同点，考虑图102。 图10.2(a)显示了一幅图像，该图像中包含有不同的实心物体、一条线和单个噪声点。图10.2(6) 显示了近似通过该图像中心的水平灰度剖面（扫描线），其包括孤立点。实心物体和沿扫描线的背景之 间的灰度过渡显示了两种类型的边缘：斜坡边缘（左侧）和台阶边缘（右侧）。正如稍后我们要讨论的那 样，灰度过渡涉及较细物体，如常称为屋顶边缘的线。图10,2（）显示了剖面线的简化，构成曲线的 点刚好足够我们在遇到一个噪声点、一条线和物体的边缘时在数量上分析一阶导数和二阶导数的特 性。在这幅简化图中，斜坡的过渡跨越4个像素，噪声点是单个像素，线为3个像素粗，灰度台阶的 过渡发生在邻接像素间。为简化起见，灰度级数限制为8级。 孤立点 台将 附像集带343200006000013100007777a▣ a b -阶数44006600022000)00 图10,2(a)图像：(b)通过该图像中心的水平灰度剖面，包括孤立躁声点：（©）简化后的剖 面线（为清楚起见，点已用虚线连接起来）。图像条带对应于灰度剂面曲线。方框 的数字是剖面线中所示的点的灰度值。导数是使用式(10.2)和式(102-2)得到的
第10章图像分割 447 现在我们考虑当从左到右横穿该剖面时一阶导数和二阶导数的性质。首先，我们注意到在灰度 斜坡的开始处并沿着整个灰度斜坡，一阶导数不为零，同时二阶导数仅在斜坡的开始处和结尾处不为 零。因为数字图像的边缘类似于这种类型的过渡，故我们断定一阶导数会产生“粗”边缘，而二阶号 数则会产生细得多的边缘。接下来，我们遇到孤立噪声点。该点处的二阶导数响应幅度远强于一阶导 数响应幅度。这并不意外，因为在增强剧烈变化方面，二阶导数要比一阶导数更为激进。这样，我们 就口以预期，在增强细节（包括碟声）方面二阶导数远强于一阶导数。在本例中线是如此之细，以至于 它也是更精细的细节，并且我们再次看到到一阶导数的幅度重大。最后，我们注意到到在斜坡和台阶边缘 中，进人边缘和离开边缘过渡时的二阶导数的符号相版（从负到正或从正到负）。正如我们在10.26节中 显示的那样，这种“双边缘效应”是可用于定位边缘的一种重要特性。二阶导数的符号也可用于确定 一个边缘是从亮到暗（负二阶导数）过渡还是从暗到亮（正二阶导数）过渡，这里，当我们移进边缘时. 就观察到这个符号。 总之，我们得出如下结论：(1)一阶导数通常在图像中产生较粗的边缘：（②）二阶导数对精细细 节，如细线、孤立点和噪声有较强的响应：(3)二阶导数在灰度斜坡和灰度台阶过渡处会产生双边缘 响应：(4)二阶导数的符号可用于确定边缘的过疲是从亮到暗还是从暗到亮。 用于十算图像中每个像素位臀处的一阶导数和一阶导数的可洗择方法是使用空间滤波辈。对付干 图10.3中的3×3滤波器模板，该过程是计算模板系数与被该模板覆盖的区域中的灰度值的乘积之和。 也就是说.参考式(3.43)，模板在该区域中心点处的响应是 (10.2-3) 其中乙，是像素的灰度，该像素的空间位置对应于模板中第k 个系数的位置。3.4节和3.6节中已详细时论了对图像中所有 0s 像素执行这种操作的细节。换句话说，基于空间模板的导数 的计算是用这些模板对一幅图像进行空间滤波，正如在那些 章节描述的那样。 10.2.2孤立点的检测 基于前一节得到的结论，我们可知点的检测应以二阶导 数为基础。由3.62节的讨论，这意味着使用拉普拉斯 图103一个普通的3×3空间滤波器掩模 a2f.∂2f vf(x.y)=axay (10.2-4) 其中，偏微分用式(10.2-2)得到： 2=j0x+10+fx-山)-2f》 (10.2-5) dr2 和 f卫=fy++fxy-0-2f》 (10.2-6) dy" ①像343节中解释的那样，式102.3)要么是由式341)给出的空间相关的简化表示，要么是由式(342》给出的空司卷积的简 的。在某些情形下。我们通常会使用术语“模板与图像卷积”。但是，我们收在滤波器是对称滤波器时才使用这一术语。因为 这一情形下相关和叁积会产生相同的结果 718
448 数字图像处理（第三版） 故拉普拉斯是 V2f(x.y)=f(x+Ly)+f(x-l.y)+f(x.y+l)+f(x,y-l)-4f(x.y) (10.2-7 如3.6.2节中解释的那样，该表达式可以用图3.37()中的模板来实现。此外，如该节描述的那样，我 们可以把式(10.2-7)扩展为包括对角项，并使用图3.37(6)中的模板。使用图10.4(a)中的拉普拉斯模 板，它与图3,37(6)中的模板相同，如果在某点处该模板的响应的绝对值超过了一个指定的值，那 么我们说在模板中心位置x,y)处的该点已被检测到了。在输出图像中，这样的点被标注为1，而所有 其他点则被标注为0，从而产生一幅二值图像。换句话说，输出是使用如下表达式得到的： 8,功=么1RG1≥7 (10.2-8) 0,其他 其中，g是输出图像，T是一个非负的阀值，R由式(1023)给出。该式简单地度量一个像素及其8个 相邻像素间的加权差。从直观上看，这一概念是一个弧立点的灰度将完全不同于其周围像素的灰度，因 而，使用这种类型的模板可很容易地检测出这个孤立点。考虑的重点仅仅是灰度的不同对于研究孤立点 已很充分了。注意，通常对于一个导数模板，这些系数之和为零表明在恒定灰度区域模板响应将是0。 1 图104(a)点检测（拉普拉斯模板：(6）带有一个通孔的祸轮叶片的X射线图像。该通孔含 有一个里色像素：(c)模板与图像卷积的结果：()使用式(102-8)得到的结果，结果 中显示了一个点（为便于观看.该点已被放力（原图像由XT EKSystems正有限公司提供 例10.1图像中孤立点的检测。 借助于图10.46)，我们来说明如何从一幅图像中将孤立点分割出来。该图像是一幅喷气发动机误 轮叶片的X射线图像。图像右上象限中的叶片有一个通孔，该通孔中已嵌入一个黑色像素。图10.4(c) 是将点检测模板应用到该幅X射线图像后的结果，图10,4(d)显示了当T取图10.4(c)中像素的最高绝对 值的90%时，应用式(10.2-8)所得到的结果。在这幅图像中，这个单一像素清晰可见（为增加其可视性】 该像素已被人为放大)。这种类型的检测过程相当特殊，因为它基于单个像素位置处灰度的突变，这些 品合于径浅整城中的同质背景所围绕。当这一条件不能清足时。则本衣中时论的其他方法会更污
第10章图像分割 449 10.2.3线检测 复杂度更高的检测是线检测。基于10.2.1节中的讨论，我们知道.对于线检测，可以预期二阶号 数将导致更强的响应，并产生比一阶导数更细的线。这样，对于线检测，我们也可以使用图10,4(a) 中的拉普拉斯模板，记住 二阶导数的双线效应必须做适当的处理。下面的例子说明了这一处理过程 例102用拉普拉斯进行线检测 图10.5(a)显示了一幅486x486电子电路的接线掩模的一部分（二值图像），图10.5(b)显示了其拉普拉 斯图像。因为拉普拉斯图像包含有负值，为便于显示，做比例调节是必要的。如放大部分显示的那样， 中等灰度表示零，较暗的灰色调表示负值，而较亮的色调表示正值。在放大部分，双线效应清嘶可见。 首先。负值看起来可通过取拉普拉斯图像的绝对值来简单地处理。然而，如图10.5（⊙）所示，该方法 会使线的宽度加倍。一个更合适的方法是仅使用拉普拉斯的正值（在有噪声的情形下，我们使用超过正圆 值的那些值，去掉那些由噪声导致的零附近的随机变化)。如图10.5(d)中的图像所示，这种方法产生了更 细的线，这些线更有用。注意，在图10.56)到图10.5(d)中，当线的宽度比拉普拉斯模板的尺寸宽时，这 些线就被一个零值“山谷”分开了。 图105(a)原图像：(6)拉善拉斯图像，故大部分显示了拉普拉斯的 正/负双线效应：(c)拉普拉斯的绝对值：(@拉普拉斯的正值 这是预料之中的。例如，当把这个3x3滤波器居中放在一条宽为5个像素的恒定灰度线上时，其响 应将为零，这样就产生了刚才提到的效应。当我们谈论线检测时，假设这些线要细于检测子的尺寸。不 满足这一假设的线最好当做区域，并使用本节稍后讨论的边缘检测方法来处理。 图10.4(a)中的拉普拉斯检测子是各向同性的，因此其响应与方向无关（相对于该3x3拉普拉斯模 板的4个方向：垂直方向、水平方向和两个对角方向)。通常，我们的兴趣在于检测特定方向的线。 考虑图10.6中的模板。假设使用第一个模板对一幅具有恒定背景并包含各种线（方向为0°，45°和 90°)的图像进行滤波。最大响应将出现在图像中通过该模板中间行的一条水平线处。通过勾画一个 元素为1的简单阵列，并画一条水平穿越该阵列的具有不同灰度（假 设为5)的线。可很容易地验证这一点。类似的实验表明。图10.6中的 第二个模板对于45°方向的线有最佳响应第三个模板对于垂直线有 下方正，指向方。本节中 最佳响应；第四个模板对于-45°方向的线有最佳响应。每个模板的首 论的线的角度是指相对于正轴 选方向用一个比其他方向更大的系数（如2）加权。每个模板中的系数 之和为零，这表明恒定灰度区域中的响应为零 ①当其系数之和为零的施模与幅图像进行卷时，结果图像中的像素之和也为零（见习题3.16，这表明结果中存在正像素和负 像素。比例调节的日的是。使所有的负值话合于号示
450 数字图像处理（第三版） 水平 +45 垂直 -45 图10.6线检测模板。角度是相对于图2.186)中的坐标轴系统的 令R,R,R,和R表示图10.6中从左到右的各个模板的响应，其中R值由式(10.2-3)给出。假设 使用这4个模板对一幅图像滤波。在该图像中的某个给定点处，如果 对于所有j≠k有R,>R,则称该点可能与模板k方向的一条线更相 注意。这里使用R来表示模板响 101节中则用来表示区城.。 似。例如，如果在图像中的某个点处，对于j=2.3.4有R,1>.则 请不要混 说该点可能与一条水平线更相似。换句话说，我们可能对检测特定方 向上的线感兴趣。在这种情况下，我们会使用与该方向相关的模板，并对其输出进行阀值处理，就像 在式(10.12)中那样。换句话说，如果我们对检测图像中由给定模板定义的方向上的所有线感兴趣 则只须简单地对该图像运行这个模板，并对结果的绝对值进行阔值处理。留下的点是有最强响应的点， 对于1个像素宽度的线来说，相应的点最接近于模板定义的方向。下例说明了这一过程。 例10,3特定方向线的检测 图10.7(a)显示了前一例子中所用的图像。假设我们的兴趣在于寻找所有的宽度为1个像素、方向为 45°的线。为了这一目的，我们使用图10.6中的第二个模板。图1076)是用该模板对图像滤波后的结果 如之前那样，图10.76)中比背景暗的色调对应于负值。图像中有两个取向为+45方向的主要线段： 个在左上方.另一个在右下方。图10.7(c和()显示了图10.7(b)中对应于这两个区域的放大部分。注意 图10.7(d中的直线段比图10.7（）中的该线段亮得多。原因是图10.7(a)中右下方线段的宽度为1个像素 而左上方线段的宽度则不是。该模板被“调谐”到检测+45方向的1个像素宽的线，我们期望，当检测 这样的线时，其响应较强。图10,7()显示了图10.76)的正值。因为我们的兴趣在于最强响应，我们冷T 等于图10.7(@)中的最大值。图10.70使用白色显示了其值满足条件g≥T的点，其中g是图10.7(@)中 的图像。该图中的孤立点是对模板也有类似强响应的点。在原图像中，这些点与它们的邻点都按这样 种方法来取向，即模板在这些位置会产生最大的响应。用图10.4（中的模板可检测这些弧立点，然后副 除这些点；或者可以使用上一章中讨论的形态学算子来副除这些孤立点。 10.2.4边缘模型 边缘检测是基于灰度突变来分割图像的最常用的方法。我们从介绍一些边缘建模的方法开始 然后讨论一些边缘检测方法。 边缘模型根据它们的灰度剖面来分类。台阶边缘是指在1个像素的距离上发生两个灰度级间理 想的过渡。图10.8()显示了-一个垂直台阶边缘的一部分和通过该边缘的一个水平剖面。例如，用于 诸如固体建模和动画领域的出现在由计算机生成的图像中的台阶边缘。这些清晰、理想的边缘可出现 在1个像素的距离上，不需要提供任何使它们看上去“很真实”的附加处理（如平滑）。在算法开发中， 圆客的李季投.06节中花流沙峰祛钱是用一个沙画
第10章图像分割 451 图10.7()接线板掩模图像：（）使用图10.6中的+45线检测子模板处理后的结果：()图(b)左上方区域 的放大观察图：()图(b)右下区域的放大观察图：(@)将图(b)中所有负值置为零后的图像：(0其 值满足条件g≥T的所有点（白色），其中g是图（©）中的图像[为便于查看，图(0中的点已被放大 图10.8从左到右分别为一个台阶模型、一个斜坡模型和一个屋顶边缘模型（理想表示）及它们的相应灰度剖面 实际中，数字图像都存在被模糊且带有噪声的边缘模糊的程度主要取决于聚焦机理（如光学成 像中的镜头)中的限制，而噪声水平主要取决于成像系统的电子元件。在这种情况下，边缘被建模为 一个更接近灰度斜坡的剖面，如图10.8(6)中的边缘。斜坡的斜度与边缘的模糊程度成反比。在这 模型中，不再存在一条细的(1像素宽)轨迹。相反，一个边缘点现在是斜坡中包含的任何点，而 条边缘线段将是一组已连接起来的这样的点。 边缘的第三种模型是所谓的“屋顶”边缘，这种边缘具有图10.8()所示的特性。屋顶边缘是通 过一个区域的线的模型，屋顶边缘的基底（宽度）由该线的宽度和尖锐度决定。在极限情形下，当其 基底为1个像素宽时，屋顶边缘只不过是一条穿过图像中一个区域的一条1像素宽的线。例如，在 深度成像中，当细物体（如管子）比它的等距离的背景（如墙）更接近传感器时，出现屋顶边缘。管道更 亮，因而产生了一幅类似于图10.8()中模型的图像。如先前提及的那样，经常出现屋顶边缘的其他 领域是在数字化的线条图和卫星图像中，此时如道路这样的较细特征可由这种类型的边缘建模 包含所有三种类型边缘的图像并不罕见。虽然模糊和噪声会导致与理想形状的偏差，但图像中 有适当锐度和适中的噪声的边缘确实存在类似于图10.8中边缘模型的特性，如图10.9所示的剖面 图10.8中的模型允许我们在图像处理算法的开发中写出边缘的数学表达式。这些算法的性能将取决于 实际边缘和在算法开发中所用模型之间的差别。 图10.10(a)显示了从图10.8b)中的一段中提取出来的一辐图像。图10.10(6)显示了-一条水平灰度 剂面线。该图形还显示了灰度剖面的一阶导数和二阶导数。如10.2.1节中讨论的那样，当沿着灰度剖面 从左到右移动时，我们注意到，在斜坡的开始处和在斜坡上的络个点处，一阶导数为正。而在恒定灰度区 ①有着几个像素的侧列斜率的斜坡边缘，通常被当做台阶边处理。目的是由同图像中斜率更为舒暖的斜来对它们遗打微分
452 数字图像处理（第三版） 城的一阶导数为零。在斜坡的开始处，二阶导数为正：在斜坡的结束处.二阶导数为负：在斜坡上的各点 处，二阶导数为零：在恒定灰度区域的各点处，二阶导数为零。对于从亮到暗过渡的边缘，刚刚讨论的 导数的符号则侧正好相反。零灰度轴和二阶导数极值间的连线的交点称为该二阶导数的零交又，点 图10.9显示了（放大后的）实际斜坡（左下）、台阶（右上）和屋顶边缘剖面的一幅大小为1508x1970的图 像。在由小圆所示短线段指出的区域中，剖面从暗到亮。斜坡和台阶剖面分别跨越9个像素利 2个像素。屋顶边缘的基底是3个像素（原图像由Vanderbilt大学的David R.Pickens博士提供） 由这些观察我们可以得出结论：一阶导数的幅度可用于检测图像中的某个点处是否存在一个边 缘。同样，二阶导数的符号可用于确定一个边缘像素位于该边缘的暗的一侧还是亮的一侧。我们注意 到围绕一条边缘的二阶导数的两个附加性质：()对图像中的每条边缘，二阶导数生成两个值（一条不 希望的特点)：(2)二阶导数的零交叉点可用于定位相边缘的中心，正如我们将在本节稍后将要说明的 那样。某些边缘模型可用来在进入和离开斜坡的地方平滑过渡（见习题10.7）。然而，使用这些模型得 到的结论与使用一个理想斜坡得到的结论相同，且用后者可简化理论公式。最后，尽管迄今为止我们 的注意力限制在一维水平剖面上，但类似的结论适用于图像中任何方向的边缘。我们简单地定义了 个在任何期望的点与边缘方向垂直的剖面，并用刚刚讨论的对垂直边缘相同的方法对结果进行了解释。 a b 水平灰度制面 阶导数 阶导贵 零交义一 图10.10（）由一条理想垂直边缘分开的两个恒定灰度区域：()边缘 近的细节，显示了一个水平灰度剖面及其一阶导数和二阶导数