电子工业出版社：《数字图像处理》书籍教材PDF电子版（中译第三版）第9章形态学图像处理.pdf_大学文库

第9章形态学图像处理形体与特征，面客与肢体，我与兄弟如此相像，以至于人们经常把我当做他，总是把我们的身份搞混一享利·桑布鲁克·利，《科克伊尼之颂：双胞胎》引言形态学(morphology)一词通常表示生物学的一个分支，该分支主要研究动植物的形态和结构。这里，我们使用同一词语表示数学形态学的内容，将数学形态学作为工具从图像中提取表达和描绘区域形状的有用图像分量，如边界、骨架和凸壳等。我们对预处理或后处理的形态学技术也感兴趣，比如形态学过滤、细化和修剪等。在下面几节中，我们将建立并说明数学形态学中的几个重要概念。这里介绍的许多概念可在维欧氏空间E”中用公式表达，然而，我们的兴趣一开始是在二值图像上，这种图像的各个分量是Z 的元素（见2.4.2节）。在9.6节，我们的讨论将扩展到灰度图像。本章的材料开始从纯粹的输入和输出都是图像的图像处理，转变为输入是图像而输出是从这些图像中提取属性的处理，在这个意义上1.1节做了定义。像形态学及与其相关概念这样的工具数学基础的基石，它用来于从图像中提取“内涵”。本书的余下章节中将探讨和应用其他方法。 9.1预备知识数学形态学的语言是集合论。同样，形态学为大量的图像处理问题提供一种一致且有力的方法。数学形态学中的集合表示图像中的对在继续阅读之前.请读者问瓯下2.4.2节和26.4节的内容象。例如，在二值图像中，所有白色像素的集合是该图像的一个完整的形态学描述。在二值图像中，问题中的集合是二维整数空间2的元素（见2.4.2节），在该空间中，集合的每个元素都是一个多元组（仁维向量），这些多元组的坐标是图像中一个白色（或黑色，取决于事先的约定)像素的坐标x,)。前一章讨论过的灰度数字图像可以表示为其分量在空间2中的集合在在这种情况下，集合中每个元素的两个分量提供一个像素的坐标，第三个分量则对应于其离散灰度值。更高维度空间中的集合可以包含其他的图像属性，譬如颜色和随时间变化的分量除2.6.4节中基本的集合定义外，集合的反射和平移的概念在形集合反射操作类似于李间卷积叶执用得也很广泛。一个集合B的反射表示为B 行的()樱作（见342节

第9章形态学图像处理 403 B={wlw=-b,b∈B 9.1-1 如果B是描述图像中物体的像素的集合（二维点），则B是B中：)坐标被(-x-)替代的点的集合。图9.1(a)和(6)显示了一个简单的集合及其反射 a b c B 图9.1(@一个集合：(6)该集合的反射：（⊙）距离为z的平移集合B按照点z=(，)表示为(B),的平移定义如下 (B),=clc=b+z.be B} (9.1-2) 如果B是描述图像中物体的像素集合，则(B),是B中（化y)坐标被(x+,y+)替代的点的集合。图9.1(c)使用来自图9.1(a)的集合B说明了这一概念在形态学中集合的反射和平移广泛用来表达基于结构元(SE)的操作：研究一幅图像中感兴趣特性所用的小集合或子图像。图9.2的第一行显示了结构元的几个例子，其中每一个涂阴影的方块表示 SE的一个成员。如果给定结构元中的一个位置是否是该SE集合的成员没有关系时，该位置用“×，来标记，表示一个“不关心”条件，如稍后在9.5.4节中定义的那样。除了元素是SE的成员的定义之外，还必须指定结构元的原点。图9.2中各种SE的原点由一个黑点指出（尽管将SE的中心放在其重心处是很普进的.但通常原点的选择是依赖于问题的)。当SE对称且未显示原点时，则假定原点位于对称中心处当对图像操作时，我们要求结构元是矩形阵列。这是通过添加最小可能数量的背景元素（图9.2中所示的非阴影部分）形成一个矩形阵列来实现的。图9.2第二行中的第一个和最后一个SE说明了该过程。该行中的其他SE已经是矩形形式。 p 为介绍在形态学中如何使用结构元，我们考虑图9.3 图9.3(a)和(b)显示了一个简单的集合和一个结构元。如前段提到的那样，计算机实现要求用添加背景元素的方法把A 图92第一行：结构元的例子：第二也转换为一个矩形阵列。当结构元的原点位于原始集合的边行：转换为矩形阵列的结构界上时，背绿边界要大到足以适应整个结构元（这类似于如元。点表示结构元的中心 ①当对图像燥作时，如图91中的集合。我使用阴影来表示正考虑集合的成员的点（像素），在处理二值图像时。感兴的集合可为体物定文饮堡白色像素来是示这集合。而其他像东则品示为色术语精茶和？素通布分别用于表示图 651

404 数字困像处理（第三版） 3.42节讨论的空间相关和卷积的填充操作)。在这种情况下，结构元的大小为3x3,原点位于中心，所以包围整个集合的一个元素的边界在后面的说明中，我们会添加足够是足够的，如图9.3()所示。就像在图9.2中那样，必须使用最小可能的背景点来形成矩形所列，但在含化图形。我数量的背景元素填充结构元，使它成为-一个矩形阵列【见图9.3(】图9.3(a)一个集合（每个阴影方块都是集合的一个元素）：(b)结构元：（⊙）使用背景元素填充集合形成的个矩形阵列，并且提供了一个背景边界：()矩形阵列形式的结构元：（©）由结构元处理过的集合假定我们定义一个用结构元B在集合A上的操作如下：通过让B在A上运行，以便B的原点访问A的每一个元素，来创建一个新集合。在B的每个原点位置，如果B完全被A包含，则将该位置标记为新集合的一个成员（阴影所示）：否则，将该位置标记为非新集合的成员（非阴影所示）。图9.3()显示了这一操作的结果。我们看到，当B的原点位于A的边界元素上时，B的一部分将不再包含在A中，从而排除了B处在中心位置的点作为新集合的成员的可能。最终结果是集合的边界被腐蚀掉了，如图9.3（©）所示。当我们使用“结构元包含在集合中”这样的术语时，我们明确地指出A 和B的元素完全重叠。换句话说。虽然我们用包含阴影和非阴影的元素阵列来说明A和B,但在确定B是否包含于A中时，我们只考虑两个集合中的阴影元素。这此概念是下一节内容的基础，因此在继续学习之前全面理解图9.3中的概念是很重要的。 9.2腐蚀和膨胀我们通过研究腐蚀和膨胀这两个操作来开始形态学的讨论。这些操作是形态学处理的基础。事实上，本章中讨论的许多形态学算法都是以这两种原始操作为基础的。 9.2.1腐蚀作为Z2中的集合A和B.表示为A⊙B的B对A的腐蚀义为 AeB={z1(B),sA}(9.2-1) 表面上，该式指出B对A的腐蚀是一个用z平移的B包含在A中的所有的点z的集合。在下面的讨论中，假定集合B是一个结构元。式(9.21)是上节末尾讨论的图9.3（©）中的例子的数学公式。因为B 必须包含在A中这一陈述等价于B不与青景共享任何公共元素，故我们可以将腐蚀表达为如下的等价形式： AeB={zI(B),nA=☑ (9.2-2) 中，如264节所淀义的那样，心是A的补集

第9章形态学图像处理 405 图9.4显示了腐蚀的一个例子。A和B的元素显示为阴影，背景显示为白色。图9.4（心）中的实线边界是B的原点进一步移动的界限，若超出该界限，则会导致结构元不再完全包含于A中。这样该边界内的点的轨迹(B的原点位置)就构成了B对A的腐蚀。我们在图94（©）中使用阴影显示了该腐蚀的结果。记住，腐蚀是简单地满足式(92-1)或式(9.2-2)的z值的一个集合。图9.4(@和()中嘘线所示的集合A的边界仅供参考，它不是腐蚀操作的一部分。图9.4(d)显示了·个拉长的结构元，图9.4( 显示了该结构元对集合A的腐蚀。注意，原来的集合已被腐蚀为一条直线。 d8 3d4d8 b -sdjA d/8 d/8 图9.4(a集合A:(6)方形结构元B:(c)B对A的腐蚀，如阴影部分所示：()拉长的结构元： (e)用拉长后的结料元B对A的腐蚀。(@)和（©中的线边界是集合A的边界，仅供参考显示式(92-1)和式(9.2-2)不是腐蚀的唯一定义形式（见习题9.9和习题9.10中另外两种等价的定义形式)。然而，这些式子较之其他公式具有独特的优点，当把结构元B看成是一个空间模板时（见3.4.1 节)，它们更直观。刷9.1使用魔仲去除图传的某些分假设我们希望去掉图95（®）中连接中心区城到边界焊接点的线。使用一个大小为1x11且元素都是】的方形结构元魔蚀该图像，如图9.5（化）所示。大多数为1的线条都被去除了。位于中心的两条垂直线被细化了但没有被完全夫除。原因是它们的窗度大干11个俊素。把SE的大小改为15x15.并再次馆蚀图像，如图9.5()所示，所有的连线都去除了[一种替代的方法是，也可以使用11×11的SE对图9.5o) 的图像再进行腐蚀]。增大结构元的尺寸甚至会消除更大的部件：例如，使用大小为45×45的结构元.可去除边界的焊接点，如图9.5(d所示图9.5使用腐蚀去除像中的部件：（®）一幅大小为486x486的连线模板二值图像：(6)一 (d分别使用大小为11x11,15x15和45x45的结构元腐的图像。SE的元素都是1

406 数字图像处理（第三版）我们从这个例子看到，腐蚀缩小或细化了二值图像中的物体。事实上，我们可以将腐蚀看成是形态学滤波操作，这种操作将小于结构元的图像细节从图像中滤除（去除）了。在图95中，腐蚀执行了一个“线滤波”的功能。我们在93节和9.6.3节将会返回到形态学滤波这一概念。 9.2.2膨胀 A和B是Z中的集合，表示为A⊕B的B对A的膨胀定义为 A⊕B={21(B),nA≠⑦ (9.2-3) 这个公式是以B关于它的原点的映像，并且以z对映像进行平移为基础的（见图9.1）。B对A的膨张是所有位移：的集合，这样，B和A至少有一个元素是重叠的。根据这种解释，式(9.23)可以等价地写为 A⊕B={z(B,nA1A (9.2-4 与以前一样，我们假定B是一个结构元，A是被膨张的集合（图像物体）。式(9.2-3)和式(9.2-4)并不是当前所用的膨胀的唯一定义（见习题9.11和习题9.12中两种不同但等价的定义)。然而，当把结构元B视为一个卷积模板附，前述定义与其他定义形式相比有显著的优点，这种定义形式更直观。B关于其原点翻转（旋转），然后逐步移动以滑过整个集合（图像）A.这基本过程类似于3.4.2节中介绍的空间卷积。然而，要记住，膨胀以集合操作为基础，因此是种非线性操作，而卷积是一种线性操作。与腐蚀不同，腐蚀是一种收缩或细化操作，膨胀则会“增长”或“相化”二值图像中的物体这种特殊的方式和粗化的宽度由所用的结构元来控制。图9.6(a)显示了与图9.4中所用集合相同的合，图9.6(b)显示了一个结构元（在这种情祝下，B=B,因为SE关于其原点对称）。作为参考，图9.6() 中的虚线显示了原始集合，实线显示了一个界限.B的原点进一步移动：，若超出了这一界限，会导致 B和A的交集为空。因此，处在该边界上或该边界内的所有点就构成了B对A的膨胀。图9.6()显示了一个设计用来实现垂直方向膨胀比水平方向膨张更多的结构元，图9.6（©）则显示了使用这个结构元讲行能胀的结果 a b c d e d/2 .d A由B d/s i=B d/8 d/8 d d/8 图96(a集合A:(b)方形结构元（黑点表示原点）：(@)B对A的膨账，显示为阴影：(d拉长的结构元 (©)使用这个结构元对A膨账。图（©）和图()中的.点线的边是集合A的边界，仅作为参考而显示例9.2德的说明膨彭张的最简应用之一是桥接裂缝。图9.7（显示了与我们研究过的图4.49相同的带有断裂的字符的医】像，在图4.49中是用低通滤波进行连接的。已知断裂的最大长度为两个像素。图9.76)显示了能够修复这些断裂的结构元（注意，替代阴影，我们用1表示SE的元素，而用0表示背景：这是因为现在$E被当做

第9章形态学图像处理 407 一幅子图像来处理，而不是一幅图形)。图9.7()显示了使用这个结构元对原图像进行膨胀后的结果。裂缝已被桥接。形态学方法较之我们在图4.49中用于桥接断裂的低通滤波方法的一个直接的优点，就是形态学方法可在一幅二值图像中直接得到结果。另一方面，低通滤波方法则从一幅二值图像开始，生成幅灰度图像，它需要用一个园值函数将灰度图像转换为二值图像。 a b c Historically.certain computer rams were written ere written usin our to define the appticable rn.the than th 2000. ea 图9.7(a)具有断裂字符的低分辨率样品文本（见放大的视图）： (b)结构元：（⊙）图)对a的张。断裂线段被连起来了 9.2.3对偶性膨胀和腐蚀彼此关于集合求补运算和反射运算是对偶的，即 (A9B)=A⊕B (9.25) 和 (A⊕B=AOB (92-60 式(9.25)指出.B对A的腐蚀是B对A的膨胀的补，反之亦然。当结构元关于其原点对称时(G通常如此)，因为B=B,故对偶性特别有用。这样，我们可以用相同的结构元简单地使用B膨胀图像的背景（即膨胀A),并对该结果求补就可得到B对该幅图像的腐蚀。类似的说明适用于式(9.2-6）。为了说明建立形态学表达式有效性的一种典型方法，我们正式证明式(925)的有效性。由腐蚀的定义，我们有 (AOB)=(B).CA 如果集合(B),包含在集合A中，则(B),∩A=⑦，在这种情况下，上式变为 (AOB)=(B)nA=0 但是，满足(B).∩A=⑦的z的集合的补集是满足(B),∩A°≠⑦的z的集合，因此。 (AeB)={zI(B),nA≠O=A⊕B 其中，最后一步来自式(9.23)。这就结束了该证明。采用类似的推理可以证明式(9.2-6)（见习题9.13） 9.3开操作与闭操作如您所见到的那样，膨胀会扩大一幅图像的组成部分，而腐蚀则会缩小一幅图像中的组成部分在本节中，我们讨论另外两个重要的形态学操作：开操作与闭操作。开操作一般会平滑物体的轮廓、断开较窄的狭颈并消除细的突出物。闭操作同样也会平滑轮廓的一部分，但与开操作相反，它通常会弥合较窄的间断和细长的沟壑，消除小的孔洞，填补轮廓线中的断裂。 6

408 数字图像处理（第三版）结构元B对集合A的开操作，表示为A。B,其定义如下： AB=(AOB)©B (9.3.1) 因此，B对A的开操作就是B对A的腐蚀，紧接着用B对结果进行膨张」类似地，用结构元B对集合A的闭操作，表示为AB,定义如下： AB=(A⊕B)B (9.3-2 上式说明，B对集合A的闭操作就是简单地用B对A膨胀，紧接着用B对结果进行腐蚀开操作有一个简单的几何解释（见图9.8）。假设我们把结构元B视为一个（扁平的“转球”。然后，A。B的边界由B中的点建立：当B在A的边界内侧滚动时，B所能到达的A的边界的最远点。开操作的这种几何拟合特性导致了一个集合论公式，该公式表明B对A的开操作是通过拟合到A的 B的所有平移的并集得到的。也就是说，开操作可以表示为一个拟合处理： AB=UH(B),I(B),∈A} (9.3-3 其中U表示大括号中所有集合的并集 A●B=U(B周(B,CA a b e d 在中的平移 ·)8 图9.8(a结构元B沿集合A的内侧边界滚动（黑点表示B的原点）；(6)结构元：（©）粗线是开操作的外部边界（完全的开操作（阴影部分）。为清楚起见，在图（中我们未对A加阴影除了我们现在是在边界的外侧滚动B(见图9.9)之外，闭操作有类似的几何解释。如下面所讨论的那样，开操作和闭操作彼此对偶，所以闭操作在边界外侧滚动球体是意料之中的事情。从几何上讲，当且仅当对包含w的(B),进行的任何平移都有(B),∩A≠O时，点w才是AB的一个元素。图9.9说明了闭操作这一基本的几何性质 a b c 图9.9()结构元B沿集合A的外侧边界滚动：（⑥）粗线是闭操作的外部边界 (C完全的闭操作（阴影部分）。为清楚起见.在图(a中我们末对A加阴影例9.3形态学开操作和闭操作的简单说明 55网图9.10进步说明了开操作和闭操作。图9，.10(@显示了一个集合A,图9.106)显示了腐蚀处理期 65网间一个圆盘形结构元的各个位置。当腐蚀完成后，得到图9.10()所示的分离的图形。注意.两个主要部

410 数宇图像处理（第三版）类似地，闭操作满足下列性质： (a)A是AB的一个子集（子图像） (b)如果C是D的一个子集，则CB是DB的-个子集。 (C(A-BB=A-B。注意，由两种情况下的条件()可知，算子应用一次后，一个集合的多次开操作或闭操作没有影响例9.4针对形态学滤波使用开操作和闭操作。形态学操作可用于构造与第3章中讨论的空间滤波概念相类似的滤波器。图9.11(a中的二值图像显示了被噪声污染的指纹图像的一部分。这里，噪声本身表现为在黑色背景上的随机亮元素和指纹较亮部分上的暗元素。我们的目的是消除噪声及其对印刷的影响，同时使图像的失真尽可能小。由开操作后紧跟着闭操作组成的形态学滤波器可用来实现这一目的。 e f AeB=A· A·B)⊙B台B=(A·B)·B 图9.11(a噪声图像；b)结构元：(c)腐蚀后的图像：(@A的开操作：(e)开操作的膨胀：（们开操作的闭操作（原图由美国国家标准和技术研究所提供图9.11(6)显示了所用的结构元。图9.11的余下部分显示了滤波操作一步步的顺序。图9.11()显示了使用结构元对A进行腐蚀的结果。背景噪声在开操作的病蚀阶段被完全消除，因为这种情况下的所有噪声分量都比结构元小。包含在指纹中的噪声元素（黑点）的尺寸实际上却增大了。原因是当物体被腐蚀时，这些元素在尺寸增大的内部边界。这种增大可通过对图9.11()执行影胀来抵消。图911()显示了该结果，指纹中包含的噪声分量的尺寸被减小了，或完全被消除了刚才描述的两个操作构成了B对A的开操作。我们注意到，在图9.11()中，开操作的实际效果实质网上是从背景和指纹本身中消除所有的噪声。然而，在指纹纹路间却产生了新的断裂。为防止这种不希望 6的影响，我们在开操作上执行膨胀，如图9,1()所示。大部分断裂被恢复了，但纹路却变粗了，这是可

电子工业出版社：《数字图像处理》书籍教材PDF电子版（中译第三版）第9章 形态学图像处理

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