376 SoMMERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle Gl (1)besagt also, daB die zu o gehorige DE BROGLIE- Note als Anwendungsmoglichkeit Es ist seitdem von mir (I.c. )sowie von R. H. FOwLER Proc. of the roy. soc. of London, Ser. B Februar 928 und von I. NORDIEIM (Zeitschr. f. Phys. 46, 833) unter etwas verschiedenen Gesichtspunk Da n die Anzahl der Elektronen in der Volumein- ten behandelt worden. Gemeinsam ist diesen D stellungen die schon von RIChaRdSon gemachte ist n das volumen, in dem sich durch- grundlegende Annahme, daB nur solche Elektronen ttlich ein elektron befindet. Setzen wir aus der Metalloberflache austreten konnen, deren gleich aa, so wird nach (3) Normalgeschwindigkeit groBer als ein Grenz- wert 5o ist. Es miBt also 4 in Worten: der unserer zu v gehorenden de broglieschen nge ist gleich dem G-fachen die, auBere Austrittsarbeit", die das Elektron beim (Zweifachen) der com radius a. nehmen wir Passieren der, Oberflache"uberwinden muB. Uber m gerade ein Elektron Physikalische Bedeutung werden wir uns so- abgegeben hat, daB also die Metallatome ein- gleich verbreiten Volumen, in dem sich durchschnittlich ein Metall einheit verlaBt, wenn die Elektronen im Innern ion befindet. Handelt es sich um ein regular des metalls das FERMische verteilungsgesetz (5) rystallisierendes Metall, so bedeutet also a den an Stelle des MAXWELLschen(5a) befolgen (5,n,s Elementarkubus des Krystallgitters und a seine sind die Geschwindigkeitskomponenten konstante, Da diese bekanntlich von der GroBenordnung einiger ANGSTROMscher Einheiter n c d(5) e zwar nach (4), etwa doppelt so groB wie a. Unsere Elektronenwellen entsprechen also ehr weichen Rontgenstrahlen Z. B. berechnet sich fur Ag (5a) f=Ae AT' i=5. AE. Wir werden daher spater in der age wir stellen, wie in der ersten Note, die beiden letzten anderthalb Dezennien fur die Beugung Grenzfalle A<I(klassischer Fall, in welchem [51 oder Streuung der Rontgenstrahlen gewonnen in [5 a] ubergeht)und A>I(entarteter Fall) gegen uber. Fur J ergibt sich Es ist sehr charakteristisch. dab alle Fe trische und thermische Leitfahigkeit, fur den I=n( 1) I2 emG THOMSON- und PELtiER-Effekt usw, Faktoren von der Form Die erste Formel ist die ursprunglich von RICHARDSON abgeleitete, die zweite die von DUSH MAN, LAUE, ScHOTTKY modifizierte. Der Unter chied beider besteht zunachst in der Temperatur Faktor G mit Unrecht gleich I gesetzt war). Alle abhangigkeit ma an Stelle von Tl. Wenn auch sie durch die DE BROGLIESche Wellenlange aus- Formel der alten in der Darstellung der Beob druckt und verraten auf diese Weise auch auBerlich achtungen jedenfalls etwas uberlegen.Unsere ihre wellenmechanische Herkunft. In der ausfuhr- Theorie, nach der Entartung bis zu mehreren lichen Darstellung der Theorie, die inzwischen in tausend Grad herrscht, liefert naturlich die neue der Zeitschr. f. Phys. 47, S. I und 43 erschienen Formel. Sodann haben wir den Unterschied im ist, sind die Formeln bereits in der hiernach an- gezeigten Weise umgeschrieben, Die im steht hier die auBere Austrittsarbeit w., nach stehenden enthaltenen sowie die unter II zu be- der neuen die Differenz zwischen auBerer und richtenden Resultate sind dort im einzelnen be. ,Innerer Austrittsarbeit": letztere ist gegeben grande. durch II. Der Richardson- und volta-Effelt Das problem der Elektronenemission aus berechnet sich also aus unserer Geschwindig luhenden Metallen eines vorganges, der ja keit (i) heutzutage die grundlage der ganzen Radio- natiirlich technik bildet war am SchluB meiner ersten (7) Wa>W4,also知>376 SOMMERFELD: Zur Elektronentheorie der Metalle. Die Natur￾wissenschaften G1. (I) besagt also, dab die zu ~? geh6rige Dt~BRoGLIE￾sche Wellenl~nge wird: \3n/ Dan die Anzahl der Elektronen in der Volumein￾heit, ist i das Volumen, in dem sich durch￾n schnittlich ein Elektron befindet. Setzen wir dieses gleich a. ~, so wird nach (3) (4) )3 : 4 ~ a aG 3 in W'orten: der Kubus unserer zu ~ geh6renden de Brogliesehen ~Vellent~nge ist 91eich de.ra G-]aehen (Zweifachen) der Kugel yore l?adius a. Nehmen wit an, dab jedes 2¢[etallatom gerade ein Elektron abgegeben hat, dab also die Metallatome ein￾wertige 5{etallionen sind, so wird das dem ein￾zelnen Elek~ron zukommende Volumen gleich dem Volumen, in dem sich durchschnittlich ein Metall￾ion befindet. Handelt es sich um ein regular krystallisierendes Metal1, so bedeutet also a a den Elementarkubus des Krystallgitters und a seine Gitterkonstante. Da diese bekanntlich yon der Gr613enordnung einiger ANGSTn6Mscher Einheiten ist, so wird auch )~ yon dieser Gr6Benordnung, und zwar nach (4), etwa doppelt so groB wie a. Unsere Elektronenwellen entsprechen also sehr weiehen R6ntgenstrahlen. Z. B. berechnet sich Ifir Ag = 5,3 AE. Wir werden daher spgter in der Lage sein, die Erfahrungen nnd Theorien, die in den letzten anderthalb Dezennien fiir die Beugung oder Streuung der R6ntgenstrahlen gewonnen sind, ant die Metallelektronen zn fibertragen. Es ist sehr charakteristisch, dab alle tTormeln meiner ersten Note, z. B. diejenigen ffir die elek￾trische und thermische Leitfghigkeit, ffir den TIIOMSON- nnd P~LTIeI~-Effekt usw. Faktoren von der Form 4 ~ ] ' \3 n~/ usw. enthielten (wobei iibrigens der in [3] hinzugetretene Faktor G mit Unrecht gleich I gesetzt war). Alle diese Formeln vereinfachen sich nun, wenn man sie durch die D~ BRO~LIEsche Wellen1~tnge aus￾drfickt und verraten au] diese Weise auch ~uflerlich ihre wellenmechanische Herkun]t. In der ausfiihr￾lichen Darstellung der %heorie, die inzwischen in der Zeitschr. f. Phys. 47, S. I und 43 erschienen ist, sind die Formeln bereits in der hiernach an￾gezeigten Weise umgeschrieben. Die im vor￾stehenden enthattenen sowie die unter II zu be￾richtenden Resultate sind dort im einzelnen be￾grfindet. II. Der Richardson- und Volta-EJJekt. Das Problem der Elektronenemission aus glfihenden Metallen -- eines Vorganges, der ja heutzutage die Grundlage der ganzen Radio￾technik bildet -- war am SchluB meiner ersten Note als Anwendungsm6glichkeit genannt. Es ist seitdem yon mir (1. c.) sowie VOlt R. H. FOWLER (Proc. of the roy. soc. of London, Ser. ]3 Februar I928) und yon L. NORDltEIM (Zeitschr. f. Phys. 46, 833 ) unter etwas verschiedenen Gesichtspunk￾ten behandelt worden. Gerneinsam ist diesen Dar￾stellungen die schon yon :RICHARDSON gemachte grundlegende Annahme, dab nur solche Elektronen aus der Metaltoberflache austreten k6nnen, deren Normalgeschwindigkeit gr6ger als ein Grenz￾wert t0 ist. Es miBt also ~o ~ die ,,auBere Austrittsarbeit", die das Elektron beim Passieren der,,Oberfl~che" fiberwinden muB. 13bet ihre physikalische Bedeutung werden wir uns so￾gleich verbreiten. Man rechltet nun ohne Schwierigkeit die Gr6t3e des Etektronenstromes d aus, der die Oberflachen￾einheit verl~Bt, wenn die Elektronen im Innern des Metalls das FERMIsche Verteilungsgesetz (5) all Stelle des MAXWELLschen (5 a) befolgen (~, ~, sind die Geschwindigkeitskomponenten) I 1= (5) ~ ek + I , (sa) l ..... Ae ~T, ~=~(~+~l~+~). Wir stellen, wie in der ersten Note, die beiden Grenzf~tlle A << I (klassischer Fall, in welchem [5] in [5 a] fibergeht) und A >> I (entarteter Fall) gegen￾fiber. Ffir d ergibt sich A<<I [A>>I !lTa IV~ - Wi en 1 - ~7.~ ~ 2~emG ikT)Ze- kT } 2 .win ha Die erste Formel ist die ursprfinglich yon RICltARDSON abgeleitete, die zweite die yon DUSH￾MAN, LAVE, SCltOTTKY modifizierte. Der Unter￾schied beider besteht zun~tchst in der Temperatur￾abh~ngigkeit T ~ an Stelle yon T~. ~Venn auch schwer experimentell kontrollierbar, ist die neue Formel der alten in der Darstellung der Beob￾achtungen .jedenfalls etwas fiberlegen. Unsere Theorie, nach der Entartung bis zu mehreren tausend Grad herrscht, liefert natfirlich die nene Formel. Sodann haben wit den Unterschied im Exponenten zu beachten. Naeh der alten Formel steht hier die ~uBere Austrittsarbeit W~, nach der neuen die Differenz zwischen XuBerer und ,,innerer Austrittsarbeit"; letztere ist gegeben dutch m ~2 (6) IV, .... ~ , berechnet sich also aus nnserer Geschwindig￾keit (~). Nun ist natfirlich (7) W~ > W~, also t0 > v