第二十二章各种积分间的联系与场论初步 §1各种积分间的联系 1.应用格林公式计算下列积分: ()y一xyk,其中L为椭圆+2=1,取正向 dx+(x-y)dy ()∮(x+y)d-(x2+y3),L是顶点为4(.DB(32)C25)的三角形的边界 取正向 (4)∮(x2+y2)x-(x2-y2)d,L为x2+y2=1,取正向 (5)∮e"sinx+e- sin ydy,L为矩形a≤x≤bc≤y≤d的边界,取正向 ()∮e[(ysmx+c(x+y)+(xsm+c(x+y)d,其中L是任意逐 段光滑闭曲线. 2.利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积 (1)双纽线 (2)笛卡儿叶形线x2+y3=3ay(a>0 (3)x=a(1+cos2t)sint,y=asin2 t cOS I,0≤t≤2z 3.利用高斯公式求下列积分: ()Jx+ydd+2hy,其中 (a)S为立方体0≤x,y,z≤a的边界曲面外侧 (b)S为锥面x2+y2=2(0≤z≤h),下侧 (2)x3dhd+y2zdr+=2adh,其中S是单位球面的外侧 (3)设S是上半球面z=a2-x2-y2的上侧,求 dyd- ydEdx =dxdy Jx'dyd +(x'y-=)d=dx+(2xy+y2=) dxd第二十二章 各种积分间的联系与场论初步 §1 各种积分间的联系 1． 应用格林公式计算下列积分： (1) 2 2 L xy dy x ydx −  ，其中 L 为椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = ，取正向； (2) ( ) ( ) L x y dx x y dy + + −  ， L 同(1)； (3) 2 2 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy + − +  ，L 是顶点为 A B C (1,1), (3,2), (2,5) 的三角形的边界， 取正向； (4) 2 3 3 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy + − −  ， L 为 2 2 x y + =1 ，取正向； (5) sin sin y x L e xdx e ydy − +  ， L 为矩形 a x b c y d     , 的边界，取正向； (6) ( sin cos sin cos ( )) ( ( )) xy L e y xy x y dx x xy x y dy   + + + + +    ，其中 L 是任意逐 段光滑闭曲线． 2． 利用格林公式计算下列曲线所为图形的面积： (1) 双纽线 2 2 r a = cos 2 ； (2) 笛卡儿叶形线 3 3 x y axy + = 3 ( a  0 )； (3) 2 2 x a t t y a t t t = + =   (1 cos )sin , sin cos ,0 2 ． 3． 利用高斯公式求下列积分： (1) 2 2 2 S x dydz y dzdx z dxdy + +  ，其中 (a) S 为立方体 0 , ,   x y z a 的边界曲面外侧； (b) S 为锥面 2 2 2 x y z z h + =   (0 ) ，下侧． (2) 3 3 3 S x dydz y dzdx z dxdy + +  ，其中 S 是单位球面的外侧； (3) 设 S 是上半球面 2 2 2 z a x y = − − 的上侧，求 (a) S xdydz ydzdx zdxdy + +  ， (b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 S xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy + − + +  ；