厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.771.116;域名: gdjpkc. xmu.edu.cn §1.7 Laplace定理 教学目的与要求理解 Laplace定理的含义,会用其解决实际问题 行列式可按第一列(行展开,亦可按任一行(列展开,现将此结论再做推广 取行列式|斗中第ⅱ行,第2行,…,第i行以及第j列,第ρ列,…第 列交点上的元素,其中1≤ⅱ<<…<i≤n1≤j<j<…<j≤n, 按原来|4中相对位置构成一k阶行列式,称之为|4的一个k阶子式,记为 Zk 713 Jk 在行列式|A中去掉第i行,第行,…,第i行以及第j列,第j列 第jk列以后剩下的元素按原来的相对位置构成一个n-k阶行列式,称为(1)的 余子式,记为 M Jk 若令p=i1+i2+…+,q=j1+j2+…+jk,记 (-1)2+M 称之为式(1)的代数余子式.本节主要证明下述 Laplace定理 Laplace定理设|4是n阶行列式,在|4中任取k行(列),那么含于k行 (列)的全部k阶子式与它们所对应的代数余子式的乘积之和等于|4|.即若取定k 个行1≤i<i<…<ik≤n,则 1≤j1<j2<…<ik≤n 样,若取定k个列:1≤j<j<…<j≤n,则 1<i1<i2<…<ik≤n^)￾A 7 IP < 59.77.1.116; /a gdjpkc.xmu.edu.cn §1.7 Laplace !Q IPNGSQO QF Laplace !Q2$￾8(fFKw>
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kVx |A|  i1 ￾ i2 ￾· · ·,  ik "; j1 V￾ j2 V￾· · ·,  jk Vs0￾f 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n ￾ 1P |A| $Æ?, k CVx￾; |A|  * k CCx￾= A  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  =         ai1j1 ai1j2 · · · ai1jk ai2j1 ai2j2 · · · ai2jk · · · · · · · · · · · · aikj1 aikj2 · · · aikjk         (1) 3Vx |A| l i1 ￾ i2 ￾ · · ·,  ik "; j1 V￾ j2 V￾ · · ·,  jk V"5u01P$Æ?, * n − k CVx￾ (1)  -Cx￾= M  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  qX p = i1 + i2 + · · · + ik,q = j1 + j2 + · · · + jk, = Ab  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  = (−1)p+qM  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  ; x (1) -Cx
DB9`~ Laplace !Q
Laplace HK t |A| z n CVx￾3 |A| ok k  (V), [2, k  (V) m k CCx._$'-CxÆ:;4, |A|. <qk! k * 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n, 4 |A| = X 1≤j1<j2<···<jk≤n A  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  Ab  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  . (2) ￾qk! k *V 1 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n, 4 |A| = X 1≤i1<i2<···<ik≤n A  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  Ab  i1 i2 · · · ik j1 j2 · · · jk  . (3) 1