例34.2设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a,b) c[a,b,则存在∈[a,b,f(5)=5(这样的称为f(x)的一个不动点。) 证设g(x)=f(x)-x,则g(x)在[a,b上连续,由f(a,b]) [a,b],可知g(a)≥0,g(b)≤0。 若g(a)=0,则有5=a;若g(b)=0,则有ξ=b;若g(a)>0,g(b)<0, 则由定理3.4.3,必存在∈(a,b),使得g(2)=0,即f(2)=5 本例中闭区间[a,b不能改为开区间。例如f(x)=在开区间(0,1)上连续, 且f(0,1)c(0,1),但f(x)在开区间(0,1)中没有不动点。例3.4.2 设函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 f ([a,b])  [a,b]，则存在 [a,b]，f ( ) = （这样的 称为 f (x) 的一个不动点。） 证 设 g x f x x ( ) ( ) = − ，则 g x( )在[a,b]上连续，由 f a b ([ , ])  [a,b]，可知 g a( ) 0  ， g b( ) 0  。 若 g a( ) 0 = ，则有 = a ；若 g b( ) 0 = ，则有 = b；若 g a( ) 0  ，g b( ) 0  ， 则由定理3.4.3，必存在  (a,b)，使得 g( ) 0  = ，即 f ( )  =  。 本例中闭区间[a,b]不能改为开区间。例如 ( ) 2 x f x = 在开区间(0,1)上连续， 且 f ((0,1)) (0,1)  ，但 f x( ) 在开区间 (0,1) 中没有不动点