Vol.26 No.2 王国锋等：基于小波包和径向基神经网络轴承故障诊断 ·185, 的径向基函数方法，其所具有的最佳逼近特性是 计算的任务就剩下求得隐含层和输出层之间的 传统BP网络所不具备的仰. 权值.本文采用递推最小二乘法(RLS)计算，它可 由于三层的RBF网络具有可以逼近任意函 以充分利用前一次迭代的信息，加速网络的收 数的能力，因此本文采用三层RBF网络来实现. 敛.递推最小二乘的原理如下， 假设网络中的输入节点、隐层节点、输出节点数 定义衰减因子入，RBF网络的计算误差能量 分别为N,L,M.隐含层的作用是对输入模式进行 表示为： 变换，将低维的模式输入数据转换到高维空间 =号2d0-o (9) 内，以利于输出层进行分类识别. 其中，k是算法的迭代次数，d()是样本的理想输 隐含层采用高斯核函数的形式.采用高斯函 出.将式(6)代入式(9)中，并且将)对w()求导， 数的隐含层第个单元对应的输出)为： 写成矩阵形式为： 2Gx()-c,} R()W()=Dk) (10) 2()-exp 20,IsisN (5) 式中，(k)和D()为迭代式，其迭代方程为 式中，z()为第个隐单元的输出（径向基函数）； R(k)=R(k-1)十XK)XK) x()为第t个输入模式矢量；c,为隐层第i个单元的 D.()=D(-1)+Xk)dk) (11) 变换中心矢量：σ：为第i个中心矢量的形状参数 定义R(k)的逆矩阵以及Kalman增益g(): (半径) P)=R'), RBF的输出层为线性处理单元，其第j个单元 P(k-1)X(k) 对应的输出为： g=+xGrk-1X而' y)=w.()z.0+0)=2w.()z),1≤jsM(6) P=Pk-I)-()X()P(k--I】 (12) 1=0 式中，w()=(z()=1;w()=[wk),w(K),, 将式(10)的两边同乘以P)并代入到式(11) w];z0=[z(t0,z0,…zd)]. 中，可得网络权值的迭代方程为： 从式(6)可以看出，当每个隐层单元对应的中 W()=Wk-1)+g(k[d()-X(k)W(k-1)], 心矢量和半径已经确定后，网络结构中的未知参 =2-1H号2d肉-X0因wk-1P（3) 数只剩下输出单元的线性权值和阈值， 该算法的实现过程如下： 22单元聚类中心及半径的确定 (1)初始化权值和阙值，逆相关矩阵P八)，高斯 确定RBF单元中心的方法是K一均值算法， 函数的方差和误差终止值e: 其具体过程如下： (2)给定高斯函数的中心矢量： (1)初始化所有的聚类中心C0=1,2,…W,通常 (3)将样本输入到RBF网络中，计算隐含层 将其初始化为最初的N个训练样本： 的输出Z: (2)将所有样本”p=1,2P,P为样本总数) (4)开始迭代，令迭代次数k=1: 按照最近的聚类中心分组，即如果X-C= (5)根据式(12)计算Kalman增益和逆相关矩 min(P-C),则将样本划归到聚类中心C: 阵P): (3)计算每个类的均值作为新的聚类中心 (6)计算误差信号e(k)=d)-z(K)m,(k-1): C-Nx (7) (7)根据式(13)更新网络权值w,(): 式中，N为第类的样本数. (⑧)根据式(13)计算误差能量： (4)重复步骤(2)和(3)，直到所有的聚类中心 (9)如果J)≥，k=k+1,转(3)：否则终止计算， 不再变化.利用K一均值算法获得各个聚类中心 通过迭代计算直到网络收敛，就可计算得到 后，即可将之赋给各RBF单元作为RBF的中心， 网络的权值. 每一个聚类中心的半径，等于其与该类的训 3滚动轴承故障诊断实例 练样本之间的平均距离，即 1Σx-C)rW-C) 一N@ (8) 首先将信号采用小波包算法进行分解，本文 2.3网络权值的计算 采用四层小波进行分解，然后将高频部分分成8 在确定了隐含层的中心和半径后，神经网络 个频带，信号的采样频率为10kHz,分析频率范一 一 王 国 锋 等 垂 于 小 波 包和 径 向垂 神经 网络轴 承 故 障诊 断 的径 向基 函 数方法 ， 其所 具 有 的最 佳逼 近特 性 是 传 统 网络 所 不 具 备 的 “ ， 由于 三 层 的 网络 具 有 可 以逼 近 任 意 函 数 的能 力 ， 因此 本 文 采 用 三 层 网络 来 实现 假 设 网络 中 的输 入 节 点 、 隐层 节 点 、 输 出节 点数 分 别 为刃工 ， 隐含 层 的作用 是对 输 入 模 式进 行 变 换 ， 将 低 维 的模 式输 入 数 据 转 换 到 高 维 空 间 内 ， 以利 于 输 出层 进 行 分类 识 别 隐含层采 用 高斯 核 函数 的形 式 采 用 高 斯 函 数 的 隐含 层 第 个 单 元 对 应 的输 出‘ 为 ，” 一 艺， 一 办 ， 时 丛 兰 式 中 ， ， 为 第 个 隐单元 的输 出 径 向基 函 数 城 为第 个 输 入 模 式矢 量 。 为 隐层 第 个 单 元 的 变 换 中心 矢 量 氏 为 第 个 中心 矢 量 的 形 状 参 数 半径 的输 出层 为线 性 处 理 单元 ， 其卿个 单元 对 应 的输 出为 升 艺 ‘ 无乙 乓 艺 ‘ 无石 ， 习‘ 式 中 ， 鞠 以 【饰 ，琳 ，… ， 琳试 」 二 为 ，二 哆试 从 式 可 以看 出 ， 当每个 隐层 单 元对 应 的 中 心 矢 量 和 半径 已经 确 定 后 ， 网络 结构 中的未 知参 数 只 剩 下 输 出单 元 的线 性 权 值 和 闽值 单 元 聚 类 中心 及 半径 的确 定 确 定 单 元 中心 的方 法 是 一 均 值 算法 ， 其具 体 过 程 如 下 ‘ 初始化 所 有 的聚 类 中心 口 ， ， …劝 ，通 常 将其初 始 化 为最 初 的 个 训 练样 本 将 所 有 样 本尸 勿二 ， ， … 尹 ， 为样本 总数 按 照 最 近 的聚类 中心 分 组 ， 即如 果 尸一 引 场 尹一 ， 则将 样 本护划 归到聚类 中心 计 算 每 个 类 的均值 作 为 新 的聚 类 中心 留 祷 式 中 ，凡 为第了类 的样 本 数 重 复 步骤 和 ， 直 到所 有 的聚 类 中心 不 再 变化 利 用 一 均 值 算 法 获 得 各 个 聚 类 中心 后 ， 即可 将之 赋 给各 单 元 作 为 的 中心 每 一 个聚类 中心 的半径氏等于 其与 该类 的训 练样 本之 间 的平 均距 离 ， 即 。 一 叔‘ 一 酬津 一 。 网络 权值 的计 算 在确 定 了 隐含层 的 中心 和 半径 后 ， 神 经 网络 计 算 的任 务就 剩 下 求 得 隐含 层 和 输 出层 之 间 的 权值 本 文 采 用 递 推 最 小二 乘 法 计 算 ， 它 可 以充 分 利 用 前 一 次 迭 代 的信 息 ， 加 速 网络 的 收 敛 递 推 最 小 二 乘【 ，的原 理 如 下 定义 衰 减 因子又 ， 网络 的计 算误 差 能量 表 示 为 一 韶 矛 一 户 一则 其 中 ， 是 算 法 的迭 代 次数 ， 踌 是 样 本 的理 想 输 出 将式 代 入 式 中 ， 并 且 将 对 浅 求 导 ， 写 成 矩 阵形 式 为 班 ‘ 式 中 ， 和 蔑 为迭 代 式 ， 其迭 代 方程 为 仄 一 欠扭丫 汤 一 十双 减 定 义 的逆 矩 阵 以及 增 益 联 二 一 ’ ， 二 ， 武 一 ，创、 丫二斋攀忿六 岑长万六 叼 一 又 丫 劝洲 一 ’ 烈劝一 牛洲、 一 一爪研 侧 、 一 义吁 、 ” ‘ 产 “ “ 严 ’ 、 仰，一 “ ” ‘ 月 “ ‘ 一产 将 式 的两 边 同乘 以洲 并代 入 到 式 中 ， 可 得 网 络 权 值 的迭 代 方 程 为 斌 川 一 增《 【， 一丫 斌 一 」 ， 一 ‘ 一 ，彭 〔 “ 一‘ 盼 一 ， 该算 法 的实现 过 程 如 下 初 始化权值 和 闽值 ， 逆 相 关矩 阵武 ， 高斯 函数 的方 差 和 误 差 终 止 值 舜 给 定 高斯 函数 的 中心 矢 量 将 样 本 输 入 到 网络 中 ， 计 算 隐含层 的输 出乙 开 始 迭 代 ， 令 迭 代 次 数 根据 式 计 算 增 益 和 逆 相 关矩 阵洲 计 算 误 差 信 号， 一矛 一 根 据 式 更 新 网络 权 值 ， 根 据 式 计 算误 差 能量 如 果 七 ， ， 转 否 则 终 止 计算 通 过 迭 代 计 算直 到 网络 收敛 ， 就 可计 算 得 到 网络 的权 值 滚 动 轴 承 故 障诊 断 实例 首先将信 号采 用 小波包 算 法进 行分解 ， 本文 采 用 四层 小波进 行 分 解 ， 然 后 将 高频 部 分 分 成 个 频 带 ， 信 号 的采样 频 率 为 ， 分 析 频 率 范