证明“必要性设1)是恰当方程,则有函数v(x,y)使得 ou du(, y)=dx+dy =M(x, y)dx+N(x, y)dj oX 故有 M(x v ou=N(x,y) ax oM au an au 从而 ay aya au 由于和 都是连续的,从而有 ayax axd VoX Oxo 故 OM(,y) aN(,y ax证明 “必要性”设(1)是恰当方程, 则有函数u(x, y),使得 dy y u dx x u du x y   +   ( , ) = = M (x, y)dx + N(x, y)dy 故有 M (x, y), x u =   N(x, y) y u =   从而 2 , M u y y x   =    2 . N u x x y   =    由于 和 都是连续的,从而有 2 2 x y u y x u       , 2 2 x y u y x u    =    故 . ( , ) ( , ) x N x y y M x y   =  