,∫F(x1,y1,z1,t)=0 31F,(X1,y124t)=0 … ,*0时，可记作 x!=x1(z1,t) Σ1ty1=y(zt) 7:=21 记向径r={x1,y1,z1},则∑·r=r（z1,t),采用南开大学〔3)的定义，将∑1上满足条件 → rz1Xr=0 的奇点称为！上的一类界点。我们在〔5)中证明了三！上的点是一类界点的必要充分条件 是 F,=0 这条件就是C:在Σ：上包络线「，的点满足的包络条件，所以广：的点都是一类界点，也是 Σ：的奇点。一类界点的轨陈称为一界曲线。母面S:上和三！的一类界点（一界曲线）共轭 的点（曲线）称为Σ：的一类界点（一界曲线）。「：是Σ：上的一界曲线，下：是∑：上的一界 曲线，母面上的一类界点一般不是奇点。 五、接触线在母面上的包络线、二类界点 在S2上，C,是S2上的单参数曲线族，如果存在包络线下，则由(4.2)，「2满足方程 /f=0 a·D1:DX:+iDy:+aDa24=0}(接触线族) (5.1) DD(2)f=fx2DD2)x2+fy2DD2)y:+f,2DD(2)z2=0(包络条件) (5.1)中的DD2)x2、DD2)y2、DD2)z2由(2.2)对t微分得到。 若「：存在，三2将分为工作区S:”和非工作区S2「两部分，「：是它们的分界线。 t变动时，「2上点P每一瞬时重合于包络面三1上某点P',转到S:上，P在∑：形成 下，的共轭曲线下：。利用算符性质，厂，的方程是 F=0 DF=0 D(DDF=A()fxDD()x:+A(12)fy:DD()y: （5.2) +A(2)f22DD(2)z2=0 下，与「1都在3：上，如将下2的方程(5.2)与「，的方程(4.3)比较，前两方程相同， 第三方程分别是D(1)DF=0和DDF=0,由于D与A(12)不能交换次序，所以2和「：一 般不会重合。 一般说两构件在啮合运动中： 母面82上有两曲线「2和「！，「2是接触线在母面上的包络线，它是母面工作区和非工 作区的分界线，下：是接触线C,在包络面∑：上的包络线在母面上的共轭曲线。「，和广：围 成2的实际工作区。 包络面：上有两曲线「：和下，下，是接触线在包络面上的包络线。广，的点都是三，的 109F ( x l , y , , z a , t ) = 0 F : ( x , , y ; . 2 2 , t ) = 0 ` . 、几 勺白 、声 , 「 ) 1 , , 当群黔 : 寺 0 时 , 可 记作 y Z l 1 = x l ( 2 1 , t ) 一 = y ; ( z ; , t ) 夕 1 . `1`.L 艺 记 向径 r = 笼x , , y , , z ; } , 则 艺: : r = r ( z ; , t ) , 采 用南开大 学 ( ’ 3〕的 定义 , 将 艺 : 上 满足条件 叫卜 - ) r : 一 x r , = 0 的奇点称 为 艺: 士 的一 类界点 。 我们在 〔5 〕 中证 明了 芝: 上 的点是一 类界点的 必要充分 条件 是 F : : = 0 这 条件就是 C t 在 艺 : 上 包 络线 r , 的 点满 足的 包 络条 件 , 所 以 r : 的点 都是一 类界点 , 也是 艺 : 的奇点 。 一 类 界点的轨肺 称 为一 界曲 线 。 母 面 万 2 上 和 万 : 的一 类 界点 ( 一 界曲线 ) 共辘 的点 ( 曲 线 ) 称为艺: 的一 类界点 ( 一 界曲线 ) 。 F , 是艺 : 上 的一界 曲线 , r : 是艺: 上的 一 界 曲 线 , 母 面 _ ! 几的 一 类界点 一般不 是奇点 。 在 S : 上 , C : f 二 0 五 、 接 触线在 母 面 上 的包络线 、 二 类界点 是 E : 上 的单 参数 曲线 族 , 如 果存在 包络 线 F : , 则 由( 4 . 2 ) , r : 满 足方程 r Z : I D ( ’ ) f = f · : · D ( ’ ) x : + f , 2 · D ( ’ ) y Z + f Z : · D ( 2 ) z : = 0 } `接 触 线族 ’ ( 5 . 1 ) ’ D D ( 2 ) f = f : : · D D ( 2 ) x : + f , 2 · D D ( 2 ) y Z + f Z : · D D ( “ ) z : = o ( 包络 条件 ) ( 5 . 1 ) 中frJ D D ( 2 ) x Z 、 D D ( 2 ) y Z 、 D D ( 2 ) 2 2 由 ( 2 . 2 ) 对 t 微分得 到 。 若 r : 存在 , 万 : 将 分 为工 作 区芝 : ” 和 非工 作 区 卫 Z r 两 部分 , r : 是它 们 的分 界线 。 t 变 动时 , r : 上点 P 每一瞬时 重合 于包络 面 艺 , 上某点 P 尹 , 转到 S : 上 , P 产 在 艺: 形 成 F : 的共辘 曲线 r : 。 利用 算符性质 , 厂 : 的 方程是 F = 0 D F = O D ( I ) D F = A ( , ` ) f : : ` D D ( 2 ) x : + A ( 1 2 ) f , : · D D ( ` ’ ) y : + A ( 1 2 ) f : 2 · D D ( 2 ) 2 2 = o ( 5 . 2 ) 一几 r : 与 r : 都在 艺 : 上 , 如 将F Z 的方 程 ( 5 . 2 ) 与 F , 的 方程 ( 4 . 3) 比较 , 前两方 程 相同 , 第三方程 分别 是 (D ` , D F = 0 和 D D F = 0 , 由于 D 与 A ` , , , 不 能交换 次 序 , 所 沂 2 和 r : 一 般不会重合 。 一般说 两 构件在 啮 合运 动 中 : 母面 习 : 上有两 曲线 F : 和 F , , r : 是 接 触线 在母面上 的包 络线 , 它是母 面工作 区和 非工 作 区 的 分 界线 , r , 是接 触线 C : 在 包 络而 艺 , 上 的包 络线在 母面 上的共辘 曲线 。 r : 和 r : 围 成艺 : 的实际 工作 区 。 包络 面 艺 : 上有两 曲线 F : 和 r : , r : 是接触 线在 包络 面 上的包 络线 。 r : 的点都 是 艺 , 的 1 0 9