第七章平面问题的基本理论和直角坐标解法 7.1平面问题的分类及基本方程 弹性力学一般的三维问题有几何方程、平衡方程和本构关系15个未知量，15个方程， 求解非常复杂，即使简单几何形状的物体，求解也很烦琐。严格地说，任何弹性力学都是空 间问题，也就是说应力、应变和位移都是空间坐标(x,y,)的函数，但如果物体具有某种特 殊的几何形状，载荷分布呈一定规律，三维问题就可以简化为二维问题。 设物体x,y,z方向的尺寸为1,1，1，考察下面两种情况。 (1)1,之1，如果1，是常量，就是等厚度薄板。只在板边作用有平行于板面的面力，体力 也平行于板面，板面内没有载荷作用。面力、体力沿板的中面且不随厚度变化，如果板的厚 度很小，可以假设与中面垂直的应力分量均为零，其余的应力分量沿厚度保持不变，称为平 面应力问题。（如图1所示） 选取坐标系使x,y平面与板中面重合，z方向是厚度方向，则有 0.=0(x,y),0,=0,(x,y)tg=t(x,y,te=t==0:=0 (7.1) 代入本构关系，= 1+y。y EogE0u,得 1 -Fo,- 6x 1 6,=E0,E0: (7.2) 、上 E(c,+a,) 1+y 6wE 广义平面应力问题：如果应力分量沿厚度不是均匀分布的而是关于中面对称的（如果不对称 将产生弯矩就不是平面问题而是弯曲问题)，称为广义平面问题，这时可采用平均化的方法， h/2 J(x.y)= f(x,y,),h为薄板的厚度，各物理量平均化后可以看成平面问题。 h 平面应力状态的近似之处：从应变协调方程 0'6=0 O6s0606) axdy dz dy dz ox 20686, 08: ox2 (7.3) 0yoz 022 0s-2020s ov2 0x0 021 第七章 平面问题的基本理论和直角坐标解法 7.1 平面问题的分类及基本方程 弹性力学一般的三维问题有几何方程、平衡方程和本构关系 15 个未知量，15 个方程， 求解非常复杂，即使简单几何形状的物体，求解也很烦琐。严格地说，任何弹性力学都是空 间问题，也就是说应力、应变和位移都是空间坐标(, ,) x y z 的函数，但如果物体具有某种特 殊的几何形状，载荷分布呈一定规律，三维问题就可以简化为二维问题。 设物体 x, , y z 方向的尺寸为 , , x y z lll ，考察下面两种情况。 (1) , x y z ll l  ，如果 zl 是常量，就是等厚度薄板。只在板边作用有平行于板面的面力，体力 也平行于板面，板面内没有载荷作用。面力、体力沿板的中面且不随厚度变化，如果板的厚 度很小，可以假设与中面垂直的应力分量均为零，其余的应力分量沿厚度保持不变，称为平 面应力问题。(如图 1 所示) 选取坐标系使 x, y 平面与板中面重合， z 方向是厚度方向，则有 ( , ), ( , ), ( , ), 0 x x y y xy xy xz yz z σ = = = === σ σσ τ τ τ τ σ xy xy xy (7.1) 代入本构关系 1 ij ij kk ij E E ν ν ε σ σδ + = − ，得 1 1 ( ) 1 x x y y yx z xy xy xy E E E E E E ν ε σ σ ν ε σ σ ν ε σ σ ν ε τ = − = − =− + + = (7.2) 广义平面应力问题：如果应力分量沿厚度不是均匀分布的而是关于中面对称的(如果不对称 将产生弯矩就不是平面问题而是弯曲问题)，称为广义平面问题，这时可采用平均化的方法， / 2 / 2 1 (, ) (, ,) h h f x y f x y z dz h − = ∫ ， h 为薄板的厚度，各物理量平均化后可以看成平面问题。 平面应力状态的近似之处：从应变协调方程 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 xz xy yz z z yz y z xz x x y zy z x x yz z y xz z ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = −+ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂∂ ∂ (7.3)