可知0=0.0s=0,0g=0,即E是xy的线性函数，也就是说0，+0，是xy的线 Oxoy 0x2 性函数。但一般来说按平面应力条件求出的解并不满足这样的条件，就是说平面应力状态应 变协调方程未严格满足。为什么会出现这样的情况呢？其原因就是平面应力的假设 t:=ts=O:=0过强，实际上这三个应力分量是存在的，但板的上下表面自由，这三个应 力分量在上下表面为零，由于板足够薄，沿厚度方向不可能有很大的应力梯度，因此 t=,t=,O这三个应力分量即使存在也是很小的，可以通过量纲分析证明xx,t=是面内应力 的2备：。，是面内应力的宁信，其中方是板厚，L是海板中面的最大尺寸。所以。虽然 平面应力假设并不严格满足应变协调方程，但仍能得到精度很高的结果。 图1平面应力问题 (2)I,1,≤1，等截面长柱体，如水坝、隧道等。所受载荷与轴线垂直，沿轴线方向均匀分 布，如果柱体两端受到刚性约束，则可以认为柱体内每一点都没有轴向位移，每个横截面的 变形都发生在截面内，这类问题称为平面应变问题（如图2所示），可以假设 u=(x,y),v=v(x,y),w=0,由此可推出 auav1,au,ov、 8x= w=5( +,Ex=6==6:=0 (7.4) oy' 2 dy ox 入本构关系&：=二o.-（(o,+0,),得C:=(o,+0),代入本构关系其它 22 可知 222 2 2 0, 0, 0 z zz xy x y ∂∂∂ εεε === ∂∂ ∂ ∂ ，即 z ε 是 x, y 的线性函数，也就是说σ x +σ y 是 x, y 的线 性函数。但一般来说按平面应力条件求出的解并不满足这样的条件，就是说平面应力状态应 变协调方程未严格满足。为什么会出现这样的情况呢？其原因就是平面应力的假设 0 xz yz z τ === τ σ 过强，实际上这三个应力分量是存在的，但板的上下表面自由，这三个应 力分量在上下表面为零，由于板足够薄，沿厚度方向不可能有很大的应力梯度，因此 , , xz yz z τ τ σ 这三个应力分量即使存在也是很小的，可以通过量纲分析证明 , xz yz τ τ 是面内应力 的 h L 倍；σ z 是面内应力的 2 ( ) h L 倍，其中 h 是板厚，L 是薄板中面的最大尺寸。所以，虽然 平面应力假设并不严格满足应变协调方程，但仍能得到精度很高的结果。 图 1 平面应力问题 (2) , x y z ll l  ，等截面长柱体，如水坝、隧道等。所受载荷与轴线垂直，沿轴线方向均匀分 布，如果柱体两端受到刚性约束，则可以认为柱体内每一点都没有轴向位移，每个横截面的 变形都发生在截面内，这类问题称为平面应变问题 ( 如 图 2 所 示 ) ，可以假设 u uxy v vxy w == = ( , ), ( , ), 0，由此可推出 1 , , ( ), 0 2 x y xy xz yz z u v uv x y yx ε ε ε εεε ∂ ∂ ∂∂ = = = + = == ∂ ∂ ∂∂ (7.4) 代入本构关系 1 ( ) z z xy E E ν ε =− + σ σσ ，得 ( ) σ z xy =νσ σ+ ，代入本构关系其它方程