206 第十章区间对象族系统的稳定性半径 上述区间又可等价地表示为 (ai af) dax-1 af+wD,j(max-1)) b+b,矿 max (Omax -1) b 显然,1mx是控制器的函数,可记为max(C).C(s)能鲁棒镇定区间对象族(91)当且仅当C(s)∈S(P) 且amx(C)>1,P(s,6)的鲁棒镇定问题有解,当且仅当 Supces(P)6mx(C)>1.可以证明,对于任何 C(s)∈S(P),与之相应的稳定性半径6ma(C)均为大于0的正数.考虑到32棱边以及16顶点定理,当 6|l<ax(C)时,任何C(s)∈S(P)都是一个同时镇定器.所以,通过计算稳定性半径ma(C)可以 完全避开复杂的同时镇定问题.并可以检验某一给定区间对象族的鲁棒镇定问题在控制器的阶次为某 固定常数的情况下是否有解.例如,设P(s)可以被一阶控制器C(s)=k(s+z)/(s+p)镇定,则可选择 控制器参数k,z和p使标称系统稳定。然后计算该控制器下的稳定性半径max(C.接着改变控制器的参 数,依次使k变为k+Δλ,z增至z+Δz,以及使ρ增至p+Δp,相应地计算稳定性半径,则♂ax(C)的 梯度可以近似求得.而梯度指明了改变参数以使nax(C)增加的方向.按照这个方向改变参数,即可改善 稳定性半径.重复上述步骤,可搜索到max(C)(至少是局部)的极大值.如果这个最优max(C)大于1 则原区间a]和[b都可被用最优点处的参数构成的控制器所覆盖,此时鲁棒镇定问题有解.如 若不然,也确定了能被一阶控制器覆盖的最大区间,同时还可获得控制器的最优参数.上述方法实际上适 用于任意阶镇定器的设计.只不过当控制器的阶次增加时,参数个数将增加,从而寻优过程的计算量也将 增加.所以,可从最简单的控制器开始 显然,稳定性半径♂max(C)的精确计算是进行参数优化的前提.因此,稳定性半径的计算问题对于鲁 棒控制器的设计起着至关重要的作用。长期以来这个问题吸引着众多研究工作者的注意并取得了许多重要 结果,见[],[?[?]and[?].目前amx(C)是以某一频率的函数的最小值的形式给出,一般是通过频率扫 描的办法(类似于Bode图和 Nyquist曲线法)近似求解.近年来颇为鲁棒控制界重视的 Tsypkin- Polyak?] 轨迹法亦属此类.在本 统性旅系6第情赫系控制器阶时的特情足:的,到稳1有 8鸡稳性径/D能锁歉这多均为系的性谢称不 式 不失一般性:,设我()和rc()r,·0H系统的特失多n式为 w (,.6)=于()()+,mDD,+fC()2()+ j稳 ()+(8)6 全体p()是标称。,系统处式,(b根1,…其+1的定系(920)类似于区间多式 族,对于C()∈!定 数三1￥5、国(0,6是=0),数=1连6函F0,6)=0)(1 104) 注意,6是使多,式族(6)体的F(x6至在。=0处有一个根(即0,6)=0)的不确定 性,数当F(062=0时b应有爵数的最小值所以,当1数时,F前同理可 数ex∥ 现在考虑,轴上一点 根 若定 系➈ ➉ ➊ ➋✁➌✗➍➏➎✝➐✦➑✝➒✌➓❘➔✌→✬➣↕↔✄➙✁➛✝➜✝➝ ➞✝➟❘➠✝➡✗➢✝➤✌➥✁➦✝➧✁➨✁➩✁➫ ➭ ➯➲✯➳➵ ➯➲ ➸➵➅➺❖➻➽➼ ➲➵➚➾ ➸ ➲✯➳➵ ➈➶➪ ➲➵ ➸ ➪ ➲✯➳➵ ➈➘➹➴❈➷➬ ➲➵➚➾ ➸ ➲✯➳➵ ➈ ➾ ➲➵ ➸ ➪ ➲✯➳➵ ➈➘➹➴❈➷➬ ➮ ➻✃➱➲ ➵➳ ➪➚❐❆❒✹❮ ➵ ➭ ➹➴❈➷➬❆➪✝❰ ➺ ➲ ➵ ➸ ➾ ❐❆❒✹❮ ➵ ➭ ➹➴❈➷➬❆➪✝❰ ➺ Ï❄Ð ➭ ➯Ñ Ò➳ ➯Ñ Ò ➸ ➺❖➻ÔÓ Ñ Ò✛➾ ➸ Ñ ➳ Ò ➈ ➪ Ñ Ò ➸ ➪ Ñ Ò➳ ➈ ➹➴❈➷➬ Ñ Ò↕➾ ➸ Ñ Ò➳ ➈ ➾ Ñ Ò ➸ ➪ Ñ Ò➳ ➈ ➹➴❈➷➬ Õ ➻✃➱ Ñ Ò➳ ➪➚❐❆Ö❈❮ Ò ➭ ➹➴❈➷➬❆➪✌❰ ➺ Ñ Ò ➸ ➾ ❐❆Ö❈❮ Ò ➭ ➹➴❈➷➬❆➪✝❰ ➺ Ï❴× Ø✌Ù✄Ú ➹➴❈➷➬❾Û✝Ü✝Ý✝Þ✄ß✝à✌áÚ ➤✝â✁➫ ➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺ ä ã❴➭ å ➺✹æ✌ç✝è✝é✁ê➠✝➡✗ë✝ì✁í ➭ î ä ❰ ➺❾ï✗ð✝ñ✄ï ã❴➭ å ➺❆ò↕ó ➭ ô❁õ ➺ ð ➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺❩ö ❰ ä÷ ➭ å Ð ø ➺ ßç✁è✁é✄ê❘ù✗ú✁û✄üÚ ï✝ð✁ñ❘ïþýÿ￾✂✁✂✄ ☎✝✆ ✞✟ ✠ ➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺✛ö ❰ ä ➤☛✡✌☞✎✍ Ú ë✑✏✓✒✕✔ ã❴➭ å ➺❆ò↕ó ➭ ô❁õ ➺ ✖✝✗✓✘✕✙✓✚ß✕✛ê✕✜✓✢✓✣ ➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺✥✤➫✕✦✑✏ ➉ ß★✧✁á☛✩✫✪✓✬✓✭✯✮ ➈✱✰✓✲✡✌✳ ❰ ➊✵✴☛✶ê✕✷Ú ï ✸ ø ✸ ✹✎✺ ➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺✼✻Ú ✒✕✔ ã❴➭ å ➺❈ò↕ó ➭ ô❁õ ➺✾✽Û✑✿✕❀❂❁ ✻✌é✄êÞ☛❃✫❄✡ Ú✫❅✓❆✓❇✕❈✛ê✕✜✓✢✕✣ ➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺ ➤☛✡ ❉✕❊✓❋✓●✓❍✓■ß✑❁ ✻✌é✄ê❘ù✗ú❃✫❏➤☛✡✌❑✓▲✓▼✿✓◆ê ➠✁➡✗ë✁ì✁íßç✁è✁é✄ê❘ù✗ú✓❖Ü✁Ý✁Þ❘ß✑P✌◗➫✕▼✿ ❘ ê✓❙á❘ß★❚✓❯✑❱✝Û✑❲û✝ü❃✫❳✓❨Ú✫❩ ô❁õ ➭ å ➺ ➤☛✡✌❬✿☛P✗Ü✁Ý✁Þ ã❴➭ å ➺✽➻✓❭ ➭ å ➾❫❪ ➺ ❴ ➭ å ➾✫❵➺❈é✄êÚ✫❛➤✕❜✑❝ Ü✝Ý✝Þ✕❞✝á ❭✝✖ ❪❢❡❣❵✐❤✓❥✕❦✓❧✌♠✛ê❃ Ù✕♥✓❇✕❈✓♦Ü✁Ý✝Þ✑❱✁ß✕✛ê★✜✓✢✕✣ ➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺ ä✂♣✕q✓r★sÜ✝Ý✝Þ✄ß✌❞ á Ú❫t◗❤ ❭✉s➫ ❭ ➾★✈❭✝✖ ❪❢✇✓①②❪q➾✌✈❢❪ ✖ ✡❫✳❤③❵④✇✓①❣❵❴➾✌✈✱❵✖ ✙✕✚➧❇✕❈✛ê✕✜✕✢✓✣Ú✫❛ ➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺ ß ⑤✕⑥✁➤✑✡❫⑦✕⑧✕⑨✕⑩❃✐❶⑤✓⑥✓❷☛✍✕❸ r✕s❞✝á✡❤ ➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺ ✇✓❹ß✌❺❂❻✌❃✐❼✑❽✌❾✕❀✕❺✎❻r★s❞✝áÚ④❿➤ r✕➀ ✛ê★✜✕✢✕✣❃④➁❍✝➞✝➟✓➂✕➃Ú ➤★➄✓➅✭❫➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺ ➭①★➆Û✓➇★➈➺ ß✌➉✦✕➊❃④❨✕➋✕❾✕❀✕➌✓➍ ➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺ ✦✓✏ ❰ Ú ❛✕➎➠✝➡②➏➲ ➳ ➵ ➲ ➵✾➐ ➸ ❡ ➏ Ñ ➳ Ò Ñ Ò➑➐➒✽ ➸ ➤★❬✓➓➌✕➍✶✌➔ß★❞✝á✕→✓➣✄ß✌Ü✝Ý✁Þ✕❄✕↔✑↕Ú✉➙✻✌ç✝è✝é✄ê✄ù✗ú✝û✝ü❃✐❨ ➛✓➜Ù✄Ú❢➝✓➞ê❸ æ❬ ✿✑P✗Ü✝Ý✝Þ✓↔✓↕✄ß✌➌✦✬➠✝➡ Ú ❁ ✻★➟➤✕➠✕⑩Ü✁Ý✝Þ✄ß★➌✕➍✓❞✝á✑❃ ➞✝➟❺✓➡✓➢✑➤➞✕➥ ➓✕✏✕✒★➦Pé✁êÞ✄ß❩✓❇❃④➧➜❆ ïÜ✁Ý✝Þ✄ß✑P❫◗✇✓❹✻Ú ❞✝á✓❀✝á✓➨✇✓❹Ú❢➩❶✕➫✕➍❆✓➭ß❇✕❈✓➯✕➝➨ ✇✓❹❃✫❄✡ Ú ➤➩ ➌✓➲✕➳✄ß✌Ü✝Ý✁Þ●✓➵❃ Ø✌Ù✄Ú ✛ê★✜✕✢✕✣ ➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺ ß✌➸➞★❇✕❈Û✕➺✕➻✓❞✝á✕➍✓➼✄ß★➽✕➾☛❃➪➚➙✄Ú ✛ê★✜✓✢✕✣ß❇✕❈ ù➚úë✓✏ç èÜ✝Ý✝Þ✄ß❩✕❇✕➶q①★➹➁✕➘✄ß✌➴➓ ❃✼➷★➬✡✌➮❾✕❀ù➚ú✑➱✓✃✌q✕❐✓❒★❮☛❰✌Ï➴✕Ð❘ß★Ñ➦❏✕Ò⑩❂❸❫Ó❒➁✕➘ Ô➋ Ú④Õ ➏ Ö ➐ ✖ ➏ Ö ➐ ✖ ➏ Ö ➐➑×ØÙ ➏ Ö ➐ ä✐Ú ➽❫➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺ Û ✡❫▼✿★Û✕Ü✄ß✁à✗á✄ß★➌✓Ý➊ ß★Þ✕ß✑◆✑à Ú ✿✕á✝Û❅✓❆Û✓Ü✕â ã ß★ä★➡ ➭å⑧✓✏②æ✥ç Ùè✉é❡ëê✼ìíÿî ý ï✵ð❫ñ➡➺ ⑦✕⑧✕⑨ü❃ ⑦✕ò✕➮✓ó✝➫ç✁èÜ✁Ý✕ô✕➁✓õ✄ß❣öý ì￾÷îØø ù çúì×÷ ➏ Ö ➐ û✕ü➡✕ý✕þ➙å ❃ ❖✕ÿ✁￾✄✂✄☎ß✝✆✄✞✁✟✁✠✁✡★➨✓◆✑à ü✄☛❇✕❈ ➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺ ß★✿★❀✄☞✕ß✑❃✵❨☛❁❫➽✁✌✄ßç✝è✛ê★✜ ✍ ☛✿✏✎Ú ✠✁✡✌➨✄✑❮☛❰✿✕á✄ß✌❚✓❯Ú✓✒❮✑❰Ü✁Ý✝Þ➫✿☛P✻ß✝✔✄✕✓❚✕❯☛❃✖✠✁✡✌➨✁✗✄✘✓✭Ú ➹➴❈➷➬ ➭ ã ➺✚✙↕û ✛❀✕Þ✕❨✢✜ ➳✤✣ ✥ ❮ ✦ ✜★✧ ❮ ✦❄ß✝✩✫✪✌ß✝✔✁✬➊ ❄ ❉★❊➞êÚ ❾✄✟✭✜✥ ❮ ✦ ❡ ✜★✧ ❮ ✦ ✤➫✗Û✕Ü✄✮➹ß✰✯ÿ✱✲✼î ï ✳ ✩✫✪★❃ ✴ ✵ ✶✸✷ ✵✹✷ ✵✻✺✁✼✏✽✄✾✄✿✁❀✏❁✭❂ ➭❃ ➺❅❄✝❆✄❇✄❈✄❉✄❊ ➜✄❋✿★á✜Ú✫❩❍●✁ ➭ å ➺ ❡❍■✁ ➭ å ➺❑❏✁▲❃✏▼✝◆❧✌♠ß✏✔✁✬❒✏❖ß ➫ P ➭ å Ð➆ø ➺ ➻ ● ✁ ➭ å ➺ ◗❘●õ ➭ å ➺ ➾❚❙❯ ➵ ❱ õ ❐❆❒✹❮ ➵ å➵ ➹❒✹❮ ➵ ❲❳ ➾✏■✁ ➭ å ➺✚❨■õ ➭ å ➺ ➾❩❙❯➳✤✣ Ò ❱ õ ❐❆Ö❈❮ Ò å Ò ➹Ö❈❮ Ò ❬ ➭ ❰ ➉ ä ✮ ➺ ➻❪❭õ ➭ å ➺ ➾✏❫ ❙❯ ➸✤✣ Ò ❱ ✣ ❭Ò ➭ å ➺ ➹ Ò Ð ❴❛❵ ❭ õ ➭ å ➺ Û❥✓❦▼✏◆❧★♠ß✏✔❜✬❒✄❖ß Ú ❭➵ ➭ å ➺ ✖✤❝❩➻ ❰ Ð ➈ Ð × × × Ð ➈ ❞ ➾ ❰ ✖ ßê✁❡ ➭ î ä ➈ ➉ ➺ ä å⑧✑✏❘➠✁➡❒✄❖ß íÚ ë✓✏ ã❴➭ å ➺❆ò✛ó ➭ ô❁õ ➺ ✖ ê✄❡ ❢ ✣ ➻✕îØ❣✤❤ ✸ ø ✣ ✸ ✹❥✐ P ➭ ➉ Ð✯ø ✣ ➺✽➻ ➉✓❦ Ð ❢ ❫ ➻★îØ❣✤❤ ✸ ø ❫ ✸ ✹❥✐ P ➭❧ Ð✯ø ❫ ➺✽➻ ➉✓❦ × ➭ ❰ ➉ ä ♠ ➺ Ñ➦Ú ø ✣ Û❤❒✄❖ßí P➭ å Ð ø ➺ ❵ ß✏♥✫♦ P➭ å Ð ø ✣ ➺ ①✕➆❖ å ➻ ➉❢➔û✿✕❀✁♣ ➭❿ P➭ ➉ Ð ø ✣ ➺❆➻ ➉ ➺ ß➜➞ê ✜Ú ❢ ✣ Ûï P➭ ➉ Ð ø ✣ ➺❆➻ ➉ ✻✉ø ✣ ✚✁q✁ûß✄r✝á❘ß★➌✑Ý➊ ❃✫❄✡ Ú ï ✸ ø ✸ ✹ ✺ ❢ ✣ ✻Ú P➭ ➉ Ð ø➺❅s➻ ➉ ä ❁✷➤ ☞Ú ï ✸ ø ✸ ✹✎✺ ❢ ❫ ✻Ú P➭❧ Ð ø ➺✚s➻ ➉ ä✤t✕❖✪✕✬✁✉✏✈➞ ✿✶ ❝❃ ä ➛ ê✄❡ ❢➭❃ ➺❈➻✕îØ❣✸❤ ✸ ø✇ ✸ ✹❥✐ P ➭ ❝❃ Ð➆ø✇ ➺✽➻ ➉✓❦ Ð ➭ ❰ ➉ ä ① ➺