二-P74的第七题 九、(本题满分10分) 有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=(y)(y≥0)绕y 轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2m 根据设计要求,当以3m3/mn的速率向容器内注入液体时, 液面的面积将以m2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前 容器内无液体) (1)根据t时刻液面的面积,写出t与q(y)之间的关系式 (2)求曲线x=q(y)的方程 (注:m表示长度单位米,min表示时间单位分) 【分析】液面的面积将以mm2/min的速率均匀扩大,因此t时刻液面面积应为 丌2+m,而液面为圆,其面积可直接计算出来,由此可导出t与(y)之间的关系式;又 液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算,已知t时刻的液体体积为3t,它们之间 也可建立积分关系式,求导后转化为微分方程求解即可 【详解】(1)设在t时刻,液面的高度为y,则由题设知此时液面的面积为 2(y)=4丌+m,从而t=g2(y)-4 (2)液面的高度为y时,液体的体积为z[o(n)=3=302(y)-12 上式两边对y求导,得 n2(y)=60(y)(y),即xo(y)=6g(y) 解此微分方程,得 qp(y)=Ce6,其中C为任意常数 由(0)=2知C=2 故所求曲线方程为 【评注】作为应用题,本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的 求解 完全类似例题见《文登数学全真模拟冲刺试卷》数学一P78的第四题(实际考题相当于 本题的特殊情形)和《数学最后冲刺》P:94的【例2】 十、(本题满分10分) 设函数f(x)在闭区间[ab]上连续,在开区间(ab)内可导,且∫(x)>0.若极限12 二-P.74 的第七题. 九 、（本题满分 10 分） 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x = ( y)( y  0) 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为 2 m. 根据设计要求，当以 3 / min 3 m 的速率向容器内注入液体时， 液面的面积将以 / min 2 m 的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）. (1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 ( y) 之间的关系式； (2) 求曲线 x = ( y) 的方程. (注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 【分析】 液面的面积将以 / min 2 m 的速率均匀扩大，因此 t 时刻液面面积应为：  + t 2 2 ，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出 t 与 ( y) 之间的关系式；又 液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知 t 时刻的液体体积为 3t，它们之间 也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可. 【详解】 (1) 设在 t 时刻，液面的高度为 y，则由题设知此时液面的面积为  (y) = 4 +t 2 , 从而 ( ) 4. 2 t =  y − (2) 液面的高度为 y 时，液体的体积为 ( ) 3 3 ( ) 12. 0 2 2 = = −  u du t y y    上式两边对 y 求导，得 ( ) 6 ( ) ( ) 2  y =  y  y ，即 ( y) = 6( y). 解此微分方程，得 y y Ce 6 ( )   = ，其中 C 为任意常数， 由 (0) = 2 知 C=2, 故所求曲线方程为 2 . 6 y x e  = 【评注】 作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的 求解。 完全类似例题见《文登数学全真模拟冲刺试卷》数学一 P.78 的第四题(实际考题相当于 本题的特殊情形)和《数学最后冲刺》P.94 的【例 2】. 十 、（本题满分 10 分） 设函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，在开区间(a,b)内可导，且 f (x)  0. 若极限