f(2x-a) 存在,证明 (1)在(a.b)内fx)>0 (2)在(ab内存在点ξ,使 b ∫(x)dxf() (3)在(a1b)内存在与(2)中ξ相异的点η,使 f(6-d)=2/(x 【分析】()由m2(2x-a) 存在知,f(a)=0,利用单调性即可证明fx)>0.(2)要证 的结论显含f(a)f(b),应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证 明(3)注意利用(2)的结论证明即可 【详解】(1)因为加(2x-a)存在,故mf(2x-)=f(a)=0.又f(x)>0 于是f(x)在(ab)内单调增加,故 f(x)>f(a)=0,x∈(a,b) )设F(xx2,8(x)=「0(a≤x≤b,则g(x)=f(x)>0,故F(x)g(x)满 足柯西中值定理的条件,于是在ab)内存在点ξ,使 F(b-F(a) (x2) g(b-g(a)/(dt-/(dt (/(dr)'l rs (3)因∫()=∫(5)-∫(0)=∫(5)-f(a),在[a,引]上应用拉格朗日中值定理,知在 (a,5)内存在一点η,使f()=f(mX(5-a),从而由(2)的结论得 b2 ∫f(x)kr(kg-a) 即有f()(b-a-) f(xdx 【评注】证明(3),关键是用(2)的结论:13 x a f x a x a − − → + (2 ) lim 存在，证明： (1) 在(a,b)内 f(x)>0; (2) 在(a,b)内存在点  ，使 ( ) 2 ( ) 2 2   f f x dx b a b a = −  ； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中  相异的点  ，使  −  − = b a f x dx a f b a ( ) . 2 ( )( ) 2 2    【分析】 (1) 由 x a f x a x a − − → + (2 ) lim 存在知，f(a)=0, 利用单调性即可证明 f(x)>0. (2) 要证 的结论显含 f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证 明. (3) 注意利用(2)的结论证明即可. 【详解】 (1) 因为 x a f x a x a − − → + (2 ) lim 存在，故 lim (2 − ) = ( ) = 0. → + f x a f a x a 又 f (x)  0 ， 于是 f(x)在(a,b)内单调增加，故 f (x)  f (a) = 0, x (a,b). (2) 设 F(x)= 2 x , g(x) f (t)dt(a x b) x a =    , 则 g (x) = f (x)  0 ，故 F(x), g(x) 满 足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点  ，使 =   = − − = − −    x x a b a a a f t dt x f t dt f t dt b a g b g a F b F a ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ， 即 ( ) 2 ( ) 2 2   f f x dx b a b a = −  . (3) 因 f ( ) = f ( ) − f (0) = f ( ) − f (a) ，在 [a, ] 上应用拉格朗日中值定理，知在 (a, ) 内存在一点  ，使 f ( ) = f ()( − a) ，从而由(2) 的结论得 ( )( ) 2 ( ) 2 2 f a f x dx b a b a  − = −     ， 即有  −  − = b a f x dx a f b a ( ) . 2 ( )( ) 2 2    【评注】 证明(3)，关键是用（2）的结论：