第5页 ★波动在两端固定弦上的传播过程 为了简单起见,仍以单纯由初位移引起的波动为例 当t>0时,初位移也像在无界弦上分别向左右传播,不同之处是到达端点x=0或x=l 时,必须反射回来,并伴有额外的相位损失丌(即在端点x=0和x=7必须作奇延拓,这是由两端 固定这样的边界条件决定的),就弦上任意一点在任意一个时刻的位移而言,它就是初位移在两个 端点间多次反复反射而叠加出的结果.对于初速度激发的波动,当然也可以类似地讨论 ★弦的总能量 在任一时刻t,弦的动能和位能分别是 (m)和号/() 总能量为 E(t)=2 dr t 将解式代入,利用本征函数的正交归一性,就容易求得 E(t) 等式右端显然是常数,与t无关,即弦的总能量守恒 ★解的唯一性 如果此定解问题有两个解,u1(x,t)和u2(x,t),那么,以(x,t)≡u1(x,t)-a2(x,t)就一定满足 定解问题 0<x<l,t>0, x=0 0,0≤x≤l t=0 只要能够证明v(x,t)=0即可.从物理上可以判断,这肯定是正确的,从能量守恒的要求来看,当 t=0时弦的总能量为0,因此以后的任一时刻t,E(t)均为0.这意味着一定有 U 即v(x,)为常数,由初始条件或边界条件,都能定出此常数为 ①更严格的办法是仿照13.6节的 推出dE/dt=0,而不依赖于具体的求解方法(例如,分离变量法)Wu Chong-shi ✤✥✦✧ ★✩✪✫✬ (✭) ➚ 5 ➪ F ③④⑤⑥⑦⑧✕⑨⑩✖❶❷❸❂ ✜ ✃❹ Ù í❺✭ î ▲ Ù❻ ✪á❼❽❾í✧❿✬ ✜ ür ➀ t > 0 ❋✭á❼❽Ò➁➡ ➒ ❑★➢✾✴ ➂➃➄➅➆✭Ý✞➇➈◗ Ô➉ ✤➊ x = 0 ➋ x = l ❋✭ ➌➍➎➏ ➐Ø ✭➘➑ ➑➒➓✧ ➩ ❼➔→ π(ã ➡✤➊ x = 0 ■ x = l ➌➍➣↔↕➙✭ ➍ ◗ ✪✣✤ ✥✦➍➎✧❏❑✲✳➛✦✧) r Ó★➢Û➜✵ ➊➡ Û➜✵→❋➝✧❼❽✠➞✭➣Ó◗á❼❽➡✣→ ✤➊✷➔ ❙ ➎➟➎➏✠ëìÑ ✧➥➦r ❰Ïá➠➡➢➤✧❿✬✭➀ï Ò↕▲◗➥➦➧❍r F ⑨✖➨➩✻ ➡ Û✵❋➝ t ✭★✧✬Þ■❼Þ✾✴◗ 1 2 Z l 0 ρ  ∂u ∂t 2 dx ■ 1 2 Z l 0 T  ∂u ∂x2 dx, ➫ Þ❁✜ E(t) = 1 2 Z l 0 ρ  ∂u ∂t 2 dx + 1 2 Z l 0 T  ∂u ∂x2 dx. ❇✱❃➭➯✭➲➙ ➊➋❈❉✧➛➳➵✵ û✭Ó➸➺➏➐ E(t) = mπ 2a 2 4l 2 X∞ n=1 n 2 |Cn| 2 + |Dn| 2 . ➻ ❃➄✤➼ ï ◗●❉✭➽ t ➒➾ ✭ ã ★✧➫ Þ❁➚➪ ❚ r F ✖✖➶➮✙ ý➦➠✦✱❐❒➑✣ → ✱✭ u1(x, t) ■ u2(x, t) ✭✂✄✭ v(x, t) ≡ u1(x, t) − u2(x, t) Ó ✵ ✦❊❋ ✦✱❐❒ ∂ 2 v ∂t2 − a 2 ∂ 2 v ∂x2 = 0, 0 < x < l, t > 0, v   x=0 = 0, v   x=l = 0, t ≥ 0, v   t=0 = 0, ∂v ∂t    t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ôõÞø✸ ✹ v(x, t) = 0 ã ↕r➹➘➴➢↕▲➷➬✭ ➍➮ ✦◗➛➱✧r➹ Þ❁➚➪✧ õ➏Ø✃ ✭ ➀ t = 0 ❋★✧➫ Þ❁✜ 0 ✭➟➠▲❮ ✧ Û✵❋➝ t ✭ E(t) ❊ ✜ 0 r➍➜❐❒✵ ✦ ➑ ∂v ∂x = 0, ∂v ∂t = 0, ã v(x, t) ✜ ●❉r ✪áâ✲✳➋❏❑✲✳✭PÞ✦Ñ ➠●❉✜ 0 r ❚ ❮❰Ï❯ÐÑ❢ÒÓ 13.6 Ô❯ÕÑ♦Ö×ØÙ dE/dt = 0 ♦ÚÛÜÝÞßà❯áâãÑ (äå♦æçèéÑ) ❞