§15.1两端固定弦的自由振动 △如果将本征函数满足的边界条件改为 a1X(0)+B1X(0)=0 2X()+2X()=0 其中a1和1、a2和B2均不同时为0,则有 a1Xm(0)+1Xm(0)=0和a2xn()+B2Xn()=0, a1Xn(0)+A1Xn(0)=0, a2Xm()+A2Xm()=0. 因为a1和61不同时为0,所以 Xn(O) Xn(o) Xm(o)Xm(o) 又因为a2和2不同时为0,所以又有 Xn(l Em()xm(ol= ★结论:对于本征值问题 x"(x)+AX(x)=0 a1X(0)+1X(0)= a2X()+2X()=0 本征函数的正交性 (ar)Xm(a)d: 仍然成立 △上面的边界条件涵盖了 三类三种类型的边界条件 ★本征函数模方① Xn2≡/x2(x)dr ①‖Xn‖的倒数常称为本征函数的归一因子,这是因为 IXn l2 Xa(a)dr=1 即本征函数Xn(x)/xn‖的模为1,另外,还可以合并写成 Xn(r)Xm(r)dr=conm 称为本征函数的正交归Wu Chong-shi §15.1 ➭➯➲➳➵➸ ➺➻➼➽ (➾) ➚ 4 ➪ 4 ý➦❇ ➊➋❈❉❊❋✧❏❑✲✳❈ ✜ α1X(0) + β1X 0 (0) = 0, α2X(l) + β2X0 (l) = 0, ❉ ➧ α1 ■ β1 ✢ α2 ■ β2 ❊Ý✞❋✜ 0 ✭ ❄➑ α1Xn(0) + β1X0 n (0) = 0, α1Xm(0) + β1X0 m(0) = 0 ■ α2Xn(l) + β2X0 n (l) = 0, α2Xm(l) + β2X0 m(l) = 0. ➟ ✜ α1 ■ β1 Ý✞❋✜ 0 ✭ ✰ ▲      Xn(0) X0 n (0) Xm(0) X0 m(0)      = 0. ● ➟ ✜ α2 ■ β2 Ý✞❋✜ 0 ✭ ✰ ▲ ●➑      Xn(l) X0 n(l) Xm(l) X0 m(l)      = 0. F ➥❍ ✷ ■❏➁➂➃✗✘ X00(x) + λX(x) = 0, α1X(0) + β1X 0 (0) = 0, α2X(l) + β2X0 (l) = 0 ➁➂➆➇✖✗✘✙ Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m ❑▲▼◆r 4 ➢➤✧❏❑✲✳❖P✃ ✵ ✢ ➈ ✢ ➶◗➶✆◗❘✧❏❑✲✳r F ➁➂➆➇❙❁❚ kXnk 2 ≡ Z l 0 X2 n (x)dx = l 2 . ❚ kXnk ❯❱❲❳❨❩ ❬❭❪❫❴❵❛❜❝ ❞❡❢❣❩ 1 kXnk 2 Z l 0 X2 n(x) dx = 1 ❤✐❥❦❲ Xn(x)/kXnk ❯❧❩ 1 ❞♠♥♦♣qrst✉✈ Z l 0 Xn(x)Xm(x) dx = l 2 δnm. ❨❩ ❬❭❪❫❴✇①❵❛② ❞