第五章四块问题的解 使‖R-Q<γ.为使这个问题更一般化,我们讨论下述四块问题:寻找Q∈RC(r),使 R1 R R21 R22-Q 由于[R1R1和n/都是/1 的子矩阵,(520)成立,则必有 R21R22-Q R 在前一节中我们看到,当R是常矩阵时,(5.21)也是(5.20)可解的充分条件。然而,当R是传递函数矩 阵时,由于要求Q∈RC(),且r<degR=n,由前一章的知识,我们立即可以看到 Ru R (522) 是(5.20)可解的另一个必要条件。如果不限制Q的结构,则(5.22)也是‖R-Q川l<γ可解的充分条件 但四块问题要求Q具有(5.19)式的结构,此时(5.22)只是(5.20)可解的必要条件。而充分必要条件是定 理315中的传递函数矩阵的稳定部分的σr+1()<1.下面我们将给出(5.20)可解的另一个必要条件 由定理312和3.13,存在谱因子R13∈RHB×P,R31∈RHm1×m,满足 R11R1+R21f21+R31.R R1R11x+R12R12x+R13B1 并可设 (5.25) CI D 其中A,B1,C1取自已知传递函数矩阵R的状态空间表达式 R CI D11 D, C2 D21 D22 我们先给出谱因子R31和R13的状态空间表达式 引理5.3R及其状态空间表达式见(5.20),丑31和R13分别满足(5.3)和(5.24 A. B C B1X+[D11D2 1 D11 I-[Di1 D=1] D A+ BR B1R BI H C1 D C1 R C? C? C (5.27)➍ ➎ ➏✑➐✁➑➓➒♠➔✓→♠➣③↔➌↕ ➙✩➛ ➜✓➝❦➞➟ ➛ ➠❯➡✕➢➥➤✺➦✑➙✁➧✁➨✓➩❼➫✁➭✬➯✑➲☎➳✓➵❼➸☎➺✑➻✁➼✬➽✑➾❯➚✕➪✓➩✕➫✬➶♠➹✬➘ ➟❸➴➬➷q➮➠➬➱ ✃ ❐ ❒ ➙ ❮ ❮ ❮ ❮ ❮❳❰ ➜➌Ï ÏÐ➜➬Ï Ñ ➜➬Ñ ÏÒ➜➬Ñ Ñ❳➝ ➟ÔÓ ❮ ❮ ❮ ❮ ❮ ➠ ➡✕➢❜Õ ➱ Ö ➤ × Ø ❐ Ù♠ÚÒÛ➜➬Ï Ï✬➜➌Ï Ñ Ü■Ý ❰ ➜➬Ï Ï ➜qÑ Ï Ó➌Þ✁ß ❰ ➜➬Ï ÏÐ➜➌Ï Ñ ➜qÑ Ï✩➜qÑ Ñ✺➝ ➟ÔÓ❼à✕á✁â✓ã➵❄➱ Ö ➤ × Ø ❐✺ä✁å✬➵♠æ☎ç✑è ➛ Û➜➬Ï Ï✬➜➬Ï Ñ Ü ➛ ➠ ➡✕➢❜é ❮ ❮ ❮ ❮ ❮❳❰ ➜➬Ï Ï ➜qÑ Ï Ó ❮ ❮ ❮ ❮ ❮ ➠ ➡✕➢❜Õ ➱ Ö ➤ × ê ❐ ë✁ì☎➯✑í❯î❼➸☎➺✕ï☎ð✬➵♠ñ❿➜ ß☎ò✑â✓ã✑ó➵⑤➱ Ö ➤ × ê ❐✺ôß ➱ Ö ➤ × Ø ❐✺õ✑öà✁÷✕ø✁ù✁ú✬û➬ü✁ý➵♠ñÔ➜ ß☎þ✑ÿ✁￾✄✂✁â ã✑ó➵☎Ù♠Ú✆☎✞✝ ➟❸➴➬➷q➮➠➬➱ ✃ ❐ ❒ ✟❄✃ ➡✆✠✡☛➜✌☞✞✍❣❒❣Ù➌ì☎➯✆✎à✆✏✞✑➵❼➸✬➺✕å✓✒✑õ✓✔✕ï✁ð ✕✗✖ ✘ Ï✚✙ ❰ ➜➬Ï Ï✩➜➬Ï Ñ ➜qÑ Ï✩➜qÑ Ñ Ó✜✛ ➡✕➢ ➱ Ö ➤ × × ❐ ß ➱ Ö ➤ × Ø ❐➥õ✑öà✞✢➯✑➨☎ç✆☎ù✁ú✬û✤✣✞✥✧✦✁★✄✩ ➟➞ à✄✪✞✫➵✜æ❄➱ Ö ➤ × × ❐❣ôß ➛ ➜✁➝✓➞➟ ➛ ➠③➡✕➢➬õ✑öà✁÷✕ø✁ù✁ú✬û ✬✓➚❼➪✓➩❼➫✞☎✞✝ ➟✮✭➞ èÒ➱ Ö ➤ ê ➍ ❐✰✯à✄✪✞✫➵✲✱ó ➱ Ö ➤ × × ❐✤✳ß ➱ Ö ➤ × Ø ❐✺õ✑öàç✆☎ù✁ú✓û♠ý✬÷✑øç✆☎ù✁ú☎ß✧✴ ✵✷✶ ➤ ê Öqîà✑þ✑ÿ✁￾✄✂✁â✓ã✁à✞✸✞✴✞✹✁ø✓à ✕✗✖ ✘ Ï ➱ ✺ ❐❳➡✬ê ➤❳➽✞✻✁➸☎➺✄✼✧✽✁✾❿➱ Ö ➤ × Ø ❐✜õ✑öà✞✢➯✑➨☎ç✞☎ù✁ú✓û Ù ✴✵✷✶ ➤ ê × Ý ✶ ➤ ê ✶ ❒ ✿✁ë✞❀✓❁á ➜♠Ï ❂ ➴q➷❄❃❄❅➠❆ ❇ ❅ ❆ ❒ ➜❄❂ Ï ➴q➷❄❃❉❈✤❆ ➠ ❇ ❈✤❆ ❒ ❊✧❋ ➜➬Ï Ï ● ➜➬Ï Ï■❍✑➜qÑ Ï ● ➜➬Ñ Ï■❍✑➜❄❂ Ï ● ➜❏❂ Ï❑☞ ➢ Ñ ▲ é ➱ Ö ➤ × ✶ ❐ ➜➬Ï Ï ➜➬Ï Ï ●▼❍✑➜➬Ï Ñ ➜➌Ï Ñ ●▼❍✑➜➬Ï ❂➜➌Ï ❂ ●◆☞ ➢ Ñ ▲ é ➱ Ö ➤ × ❖ ❐ P☎õ✆◗ ➜❄❂ Ï❙❘☞❯☞❘ ❚ ❰✧❱ ❲ Ï ❳❂ ❨✚❂ Ï Ó é✩➜➌Ï ❂✤❘☞❯☞❘ ❚ ❰✧❱ ❲ ❂ ❳Ï ❨❉Ï ❂ Ó é ➱ Ö ➤ × Ö ❐ ❩❯î ❱ ❒ ❲ Ï ❒ ❳Ï❭❬❫❪❵❴✏✁þ✑ÿ✁￾✆✂✁â❯ã ➜ à✄❛✧❜✧❝✧❞❵❡✞❢ ✯ ➜✌☞ ❰ ➜➌Ï ÏÒ➜➌Ï Ñ ➜➬Ñ ÏÒ➜➬Ñ Ñ Ó ❘☞❯☞✷❣ ❘ ❚ ❤ ❤✐ ❱ ❲ Ï ❲ Ñ ❳Ï ❨❉Ï Ï◆❨❉Ï Ñ ❳Ñ ❨❜Ñ Ï◆❨❜Ñ Ñ ❦❥❧ ❧ ♠ Õ ➱ Ö ➤ × ➎ ❐ ➸☎➺✄♥✧✽✁✾❵❀✓❁á ➜❦❂ Ï✺Ý➇➜➌Ï ❂ à✄❛✧❜✧❝✧❞❵❡✞❢✯ û ♦✄♣◆q✜r s✓➜✉t✁✈✆✇✁①✧②✧③✲④✧⑤✁⑥✧⑦❑⑧⑨⑩ ❶ ❷❸ ❹✺➜❏❂ Ï✚❺❿➜➬Ï ❂✚❻✧❼✞❽✄❾❿⑧⑨⑩ ❶➀❸❉❺❑⑧⑨⑩ ❶➁❸ ⑩ ➂ ⑩✼➜❏❂ Ï ❘☞❯☞❘③➱ ❚ ❱ é ❲ Ï➥é ❳❂❣é✗❨✚❂ Ï ❐ ❹▼✈✓➃ ❳❂❿☞ ➝✤➄✚➅ Ï ➆ Ñ ✙ ❲ ● Ï ➇ ❍☎Û ❨● Ï Ï ❨● Ñ Ï Ü ❰ ❳Ï ❳Ñ Ó■✛ ❨✚❂ Ï◆☞➈➄Ï ➆ Ñ ➄➉☞ ➢ Ñ ▲ ➝✑Û ❨● Ï Ï ❨●Ñ Ï Ü ❰ ❨❉Ï Ï ❨❜Ñ Ï Ó ➇ ☞➈➊❭➋ ➌ ➱➍➌❐ ➍➎☞ ❣❤ ❤ ❤ ❤✐ ❱ ❍ ❲ Ï ➄✚➅ Ï ❰ ❨❉Ï Ï ❨❜Ñ Ï Ó ● ❰ ❳Ï ❳Ñ Ó ❲ Ï ➄✚➅ Ï ❲ ● Ï ➝ ❰ ❳Ï ❳Ñ Ó ● ✙ ▲ ❍ ❰ ❨❉Ï Ï ❨❜Ñ Ï Ó ➄✚➅ Ï ❰ ❨❉Ï Ï ❨❜Ñ Ï Ó ● ✛ ❰ ❳Ï ❳Ñ Ó ➝✓✙ ❱ ❍ ❲ Ï ➄✚➅ Ï ❰ ❨❉Ï Ï ❨❜Ñ Ï Ó ● ❰ ❳Ï ❳Ñ Ó■✛ ● ❥❧ ❧ ❧ ❧ ♠ ➱ Ö ➤ × ➏ ❐