Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU 证明:利用Rez=x≤√x2+y2=| 12+1=2=2R(2)≤211|=2|=| (1±2)(土2)=|=F+|2 )(|±12D) 2) 3)x1·=2=E1 21 5.复球面与无穷远点: 考虑一个半径为R的球面S (x2+x2+(x3-R)2=R2),点(0,0,0)称为 南极,与复平面Ox1x2的原点重合,点(00,2R) 称为北极,记为N.对于C中的任一有限远 点z,它与N连接的直线只与S交于一点 反之,球面S上任意一点5(N点除外),它与N连接的直线也只与C交 于一点z.所以,除N点外,球面S上的点和复平面C上的点都是一 对应的。对于N点,我们发现,当→+∞时,5→N,因此在复平面 C中引进一个理想点,作为与N对应的点,称为无穷远点,记为z=∞.加 上无穷远点的复平面称为扩充复平面,也叫闭复平面,记为C=CU{叫 不包含无穷远点的复平面C称为有穷复平面,也叫(开)复平面。这样, C与S建立起来的一一对应,称为球极射影。S称为复球面。 注意:☆无穷远点只有一个,其模为+∞,而幅角是不确定的。 **同样对于z=0点,其模为0,幅角是不确定的。 *二=→5==0:作5=变换,或复球面均是就|大而言, 其中为N与5点之间的距离。Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 4 证明：利用 z = x  x + y = z 2 2 Re , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2Re( ) 2 2 , ( )( ) ( ) ( ) . z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z    +  =  =    = +   +   2） 1 2 1 2 z  z = z  z . 3） 1 2 1 2 z  z = z  z . 1 2 1 2 z z z z =        . 5．复球面与无穷远点： 考虑一 个 半 径 为 R 的 球 面 S （ 2 2 3 2 2 2 1 x + x + (x − R) = R ），点(0,0,0)称为 南极，与复平面 1 2 Ox x 的原点重合，点(0,0,2R) 称为北极，记为 N. 对于 C 中的任一有限远 点 z ，它与 N 连接的直线只与 S 交于一点 . 反之，球面 S 上任意一点  （N 点除外），它与 N 连接的直线也只与 C 交 于一点 z . 所以，除 N 点外，球面 S 上的点和复平面 C 上的点都是一一 对应的。对于 N 点，我们发现，当 z → + 时，  → N ，因此在复平面 C 中引进一个理想点，作为与 N 对应的点，称为无穷远点，记为 z =. 加 上无穷远点的复平面称为扩充复平面，也叫闭复平面，记为 C C  .  =  不包含无穷远点的复平面 C 称为有穷复平面，也叫（开）复平面。这样， C 与 S 建立起来的一一对应，称为球极射影。S 称为复球面。 注意：* 无穷远点只有一个，其模为 + ，而幅角是不确定的。 **同样对于 z = 0 点，其模为 0，幅角是不确定的。 *** 1 z 0 z =   = =  ：作 1 z  = 变换，或复球面均是就 z 大而言， 其中  为 N 与  点之间的距离