高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 f(x,y)+中(x,y)=0 f(x,y)+(x,y)=0 (1) (x,y)=0 由这方程组解出x,y及入，则其中x,y就是函数f(x,y)在附加条件下(x,y)=0的可 能极值点的坐标。 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.例如，要求函数 u=f(x,y,z,t) 在附加条件 (x,y,z,)=0,y(x,y,z,)=0 (2) 下的极值，可以先构造辅助函数 L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+(x,y,z,t)+hw(x,y,z,t) 其中入，元2均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与(2)中的两个方程联立起来求 解，这样得出的x、y、z、t就是函数f(x,y,z,)在附加条件(2)下的可能极值点的坐标. 至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判 定 例3求表面积为α2而体积为最大的长方体的体积. 解设长方体的三棱长为x,y,z,则问题就是在条件 W(x,y,z)=2xy+2yz+2xz-a2=0 (3) 下，求函数 V=z(x>0,y>0,z>0) 的最大值.构造辅助函数 L(x,y,z,A)=xyz+(2xy+2yz+2xz-a2) 求其对x、y、z的偏导数，并使之为零，得到 z+2(y+z)=0 xz+2(x+z)=0 (4 xy+2(0y+z)=0 -5-