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基础篇 第一讲行列式 考试内容及要求 考试内容：主要是行列式的计算. 考试要求：在理解行列式的概念，掌握行列式性质，行列式按行（列）展开定理的基础上，熟练正确地计 算二阶，三阶，四阶行列式及具有某些特征的n阶行列式的值. 一、行列式的概念、展开公式及其性质 (一)行列式的概念 a11a12…a1n 1.n阶行列式 021022··02m 是所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和，它由项组成，其中带正号与带负号的项各占 半，r12…j)表示排列j12…jm的逆序数.当j12…jn是偶排列时，该项的前面带正号：当12…jn是奇 排列时，该项的前面带负号.这里∑.表示对所有n阶排列求和. ()n=1时，al=an (②)n=2时， a11a2 Fa11022-a12021 a21a2 a1a12 (3)n=3时. 021 2202 a11a22a3+a21ag2a13+a31a12a23-a13a22a31-a12a21a3-a11a23ag2 a31a32033 例1设有方程组3-2=1 2-2 2= 31 2-1 ()计算D,D,D2,(2②)令x1=会，2=朵，问x1,2是否是方程的解？ 12-4 例2计算行列式-221 -34-2 2.全排列与逆序数 (1)由1,2，·，n组成的一个有序数组称为一个n级排列，通常用1j2…jn表示一个n级排列. (②)一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序，一个排列的逆序总数称 为这个排列的逆序数，用r(G12 ·加)表示排列的逆序数如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为 偶排列，否则为奇排列.例如，5级排列 32514的逆序数r(32514)=2+1+2+0=5,为奇排列 利用排列与逆序数说明阶行列式的含义. 3.由n阶行列式的定义及下面的性质可得 (四)对角行列式等于其主对角线上元素的乘积，即 1 ƒ:ü 1ò˘ 1™ £SN9ᶠ£SN:Ãá¥1™Oé. £á¶: 3n)1™Vg,›º1™5ü,1™U1()–m½nƒ:˛,Ÿˆ(/O é ,n ,o 1™9‰k, An 1™ä. ò!1™Vg!–m˙™9Ÿ5ü (ò) 1™Vg 1. n 1™: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann = P j1j2···jn (−1)τ(j1j2···jn)a1j1 a2j2 · · · anjn ¥§kgÿ”1ÿ”náɶ»ìÍ⁄,ßdn!ë|§,Ÿ•ë“ÜëK“ëà”ò å,τ (j1j2 · · · jn)L´¸j1j2 · · · jn _SÍ.j1j2 · · · jn¥Û¸û,Tëc°ë“;j1j2 · · · jn¥¤ ¸û,Tëc°ëK“.˘p P j1j2···jnL´È§kn ¸¶⁄. (1) n = 1û, |a11| = a11; (2) n = 2û, a11 a12 a21 a22 = a11a22 − a12a21; (3) n = 3û, a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32; ~1 kêß| ( 3x1 −x2 = 1 2x1 −2x2 = −1 , -D = 3 −1 2 −2 , D1 = 1 −1 −1 −2 ,D2 = 3 1 2 −1 , (1) OéD, D1, D2, (2) -x1 = D1 D , x2 = D2 D , Øx1, x2¥ƒ¥êß)? ~2 Oé1™ 1 2 −4 −2 2 1 −3 4 −2 . 2. ¸Ü_SÍ (1)d1, 2, · · · , n|§òákSÍ|°èòán?¸,œ~^j1j2 · · · jnL´òán?¸. (2)òḕ,XJòáå͸3ÍÉc,“°˘¸áͧòá_S,òá¸_SoÍ° è˘á¸_SÍ,^τ (j1j2 · · · jn) L´¸_SÍ.XJòá¸_SÍ¥ÛÍ,K°˘á¸è Û¸,ƒK褸.~X, 5?¸32514_SÍτ (32514) = 2 + 1 + 2 + 0 = 5,褸. |^¸Ü_SÍ`²n 1™¹¬. 3. dn 1™½¬9e°5üå (1) È1™ uŸÃÈDzɶ», = λ1 λ2 . . . λn = λ1λ2 · · · λn. 1