(t,=) a4(1+(二-1e-) (7.24) 显见G(L,x)的表达式完全依赖于初始资料G(0,z)的选取.当取G(0,)=z′时,我们把得 到的G(t,z)记为 ,)=∑P 由此可得下面的定理 定理7.4可逆M/M/∞系统排队过程的的转移函数为 1-e" P(=e (1 (-k) 于是 M4=-1(1-e-) Po/(1)=e 即当X0=1时,X,“C2ux 由此可见当t→>∞时x有极限分布exp,这就再 次求得了X的不变分布 [注1]以上的方法与结论可以推广到λ依赖于t的情形,只要假定λ(t)≤常数λ 这时有 t→ P(X,=k) 0 其中 A(s)a 即当t非常大的时候,排队过程X的分布与expM非常接近 [注2](成批顾客的排队系统) 上面的方法和结论,还可以推广到顾客有成批到达的情形.假定顾客在参数为A的 Poisson过程的跳跃 时刻上到达,但到达的顾客是成批的,即到达人数U是一个非负整值的随机变量,其母函数记为 B()=∑b2,(b=P(U=k) (7.27) 又假定服务时间仍为参数为的独立同分布的指数分布.那么用与推导M/M/∞系统的排队过程的矩185 G(t,z) = å ¥ = - - - + - - 0 ( 1)(1 ) (1 ( 1) ) k t k k z e e a z e tt m m l m . （７．２４） 显见G(t,z) 的表达式完全依赖于初始资料 G(0,z) 的选取. 当取 i G(0,z) = z 时, 我们把得 到的G(t,z) 记为 å ¥ = D = 0 ( , ) ( ) j j i ij G t z p t z . 由此可得下面的定理 定理７.４ 可逆M / M / ¥ 系统排队过程的的转移函数为 ( )! (1 ) ( ) 2 0 (1 ) j k e e p t e C k t t i j k j k i j k i k e ij t - - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = - - + - - Ù = - - å - m m m l m l m . （７．２５） 于是 ! [ (1 )] ( ) (1 ) 0 j e p t e t j e j tt m m l m l m - - - - = - . （７．２６） 即 当 X0 = 1时, (1 ) ~ exp t e Xt m m l - - . 由此可见当t ® ¥ 时 Xt 有极限分布 m l exp , 这就再一 次求得了 Xt 的不变分布. [注 1] 以上的方法与结论可以推广到λ依赖于 t 的情形,只要假定 λ(ｔ)£常数λ0． 这时有 0 ! ( ) lim ( ) ( ) =÷ ÷ ø ö ç ç è æ D = - -L ®¥ k t P X k e k t t t , 其中 ò L = t t s ds 0 ( ) 1 ( ) l m . 即当t 非常大的时候, 排队过程 Xt 的分布与 ( ) exp D t 非常接近. [注 2] (成批顾客的排队系统) 上面的方法和结论，还可以推广到顾客有成批到达的情形. 假定顾客在参数为λ的 Poisson 过程的跳跃 时刻上到达, 但到达的顾客是成批的, 即到达人数u 是一个非负整值的随机变量, 其母函数记为 å ¥ = = = = 0 ( ) ,( ( )) k k k B z bk z b P u k D . （７．２７） 又假定服务时间仍为参数为 m 的独立同分布的指数分布. 那么用与推导 M / M / ¥ 系统的排队过程的矩