第2期 王春峰等：基于MCMC的金融市场风险VaR的估计 -55- 计算潜在损失.它不需要对市场因子的统计分布 法，它将随机过程中的马尔科夫过程引入到蒙特 作出假设，但历史模拟法必须保留市场因子过去 卡洛模拟中，实现动态模拟（即抽样分布随模拟的 某个时期所有的历史数据，而且必须对证券组合 进行而改变).本质上，MCMC方法是使用马尔科 中每一个金融工具进行估价，计算量大. 夫链的蒙特卡洛积分.已知市场因子的历史数据， 分析方法是一种利用证券组合的价值函数与 实际上是已知变量的后验分布，要求的一些后验 市场因子间的近似关系、市场因子的统计分布（方 量如均值、方差、分位数可归结为对高维的后验分 差一协方差距阵)来简化计算的方法.分析模型可 布进行积分计算.具体来看，蒙特卡洛积分通过抽 分为两大类delta-类和gamma-类.在delta-类 样点{X,t=1,,n}来估计E[f(X)],其估算 中，证券组合的价值函数均取一阶近似，但不同模 公式为 型中市场因子的统计分布假定不同，如Garbade E[f(x]≈∑ (X) (1986)的delta-正态模型]中市场因子服从多元 (2) n-1 正态分布：J.P.Morgan(l994)的delta-加权正态 所以，由∫(X)的抽样均值可得到其总体均值.如 模型[幻中，使用加权正态模型(WTN)来估计市场 果抽样点{X}是独立的，则可以增加抽样次数n 因子回报的协方差矩阵：Hsieh(l993)的delta- 来达到所期望的准确度 GARCH模型[)]中，使用了GARCH模型来描述 般来讲，随机点X,来自于分布π(X),因此 市场因子.在gamma-类模型中，证券组合的价值 如何由分布π(X)得到随机点至关重要.MCMC 函数均取二阶近似，其中Wilson(1993)的 方法就是通过构造一个平稳分布为π(X)的马尔 gamma--正态模型[假定市场因子的变化服从多 科夫链来得到随机样本.假定要产生随机变量 元正态分布，而Fallon(1996)的gamma-GARCH {Xo,X,X2,…},则对任意t≥0的时刻，下一 模型使用多元GARCH模型来描述市场因子. 状态X+D来自于对分布P(X+D|X)的抽样， 分析方法简化了VaR的计算，但它要求市场因子 它只依赖于当前状态X,并不依赖于历史状态 必须服从正态分布、价值函数非线性程度低，而现 {Xo),X1),…,X-1}.这就是马尔科夫序列，其 实中经常无法满足这两个假定， 中P(·|·)称为转移核，它不依赖于时间t 针对分析方法在处理非线性证券组合时的缺 现在有一个问题是初始状态Xo对X)有什 陷，近年来蒙特卡洛模拟法成为学术界研究VaR 么影响.在给定Xo)而没有{X1),…,X-1)}的 计算的主流方法.但蒙特卡洛模拟法存在两个重 信息情况下，将X的条件分布记为P(X 要缺陷，其一是计算效率低，近年来许多工作集中 |X).在一般规律下，马尔可夫链将逐渐的忽略 在提高蒙特卡洛模拟法的计算效率方面]：其二 其初始状态，P)(X)|Xo,)将最终收敛于唯一 是维数高、静态性的缺陷.传统的蒙特卡洛模拟法 的平稳分布，它既不依赖于t也不依赖于初始状 由于采用抽样方法产生随机序列，均值和协方差 态.这说明，不管初始值取什么，X的分布收敛 矩阵不变，而经济问题中的变量都具有时变性，用 到同一个分布，即所谓的平稳分布， 静态的方法处理时变变量时必然会产生一定的偏 事实上，并不需要起始状态的边际分布就是 差：而且传统蒙特卡洛方法难于从高维的概率分 π(x),从不同的Xo,出发，链经过一段时间的迭 布函数中抽样. 代后，可以认为各个时刻的X)的边际分布都是 针对这种情况，本文提出了一种基于马尔科 平稳分布π(x),此时称它收敛了.而在收敛出现 夫链蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo,简称 以前的一段时间，比如m次迭代中，各状态的边 MCMC)的VaR计算方法，以克服传统Monte 际分布还不能认为是π(x),因此在使用式(2) Carlo模拟的高维、静态的缺陷，提高估算精度. 估计E[f(X)]时，应把前面的m个迭代值去掉， 而用后面的n一m个迭代结果来估计，即 马尔科夫链蒙特卡洛方法 E[fX)]≈，L立fx) n一m,二+1 (3) MCMC方法[1)]是一种特殊的蒙特卡洛方 上式称为遍历平均.由众知的遍历性定理，有子。计算潜在损失. 它不需要对市场因子的统计分布 作出假设 但历史模拟法必须保留市场因子过去 某个时期所有的历史数据 而且必须对证券组合 中每一个金融工具进行估价 计算量大. 分析方法是一种利用证券组合的价值函数与 市场因子间的近似关系~ 市场因子的统计分布( 方 差-协方差距阵) 来简化计算的方法. 分析模型可 分 为 两 大 类 delta-类 和 gamma-类. 在 delta-类 中 证券组合的价值函数均取一阶近似 但不同模 型中市场因子的统计分布假定不同 如 Garbade ( 1986) 的 delta-正态模型[7]中市场因子服从多元 正态分布; J. P. Morgan( 1994) 的 delta-加权正态 模型[2]中 使用加权正态模型( WTN) 来估计市场 因子 回 报 的 协 方 差 矩 阵; Hsieh ( 1993) 的 delta￾GARCH 模型[8]中 使用了 GARCH 模型来描述 市场因子. 在 gamma-类模型中 证券组合的价值 函 数 均 取 二 阶 近 似 其 中 Wilson ( 1993 ) 的 gamma-正态模型[9]假定市场因子的变化服从多 元正态分布 而 Fallon( 1996) 的 gamma-GARCH 模型[10]使用多元 GARCH 模型来描述市场因子. 分析方法简化了 VaR 的计算 但它要求市场因子 必须服从正态分布~ 价值函数非线性程度低 而现 实中经常无法满足这两个假定. 针对分析方法在处理非线性证券组合时的缺 陷 近年来蒙特卡洛模拟法成为学术界研究 VaR 计算的主流方法. 但蒙特卡洛模拟法存在两个重 要缺陷 其一是计算效率低 近年来许多工作集中 在提高蒙特卡洛模拟法的计算效率方面[11] ; 其二 是维数高~ 静态性的缺陷. 传统的蒙特卡洛模拟法 由于采用抽样方法产生随机序列 均值和协方差 矩阵不变 而经济问题中的变量都具有时变性 用 静态的方法处理时变变量时必然会产生一定的偏 差; 而且传统蒙特卡洛方法难于从高维的概率分 布函数中抽样. 针对这种情况 本文提出了一种基于马尔科 夫链蒙特卡洛( Markov Chain Monte Carlo 简称 MCMC) 的 VaR 计 算 方 法 以 克 服 传 统 Monte Carlo 模拟的高维~ 静态的缺陷 提高估算精度. 1 马尔科夫链蒙特卡洛方法 MCMC 方 法[12] 是 一 种 特 殊 的 蒙 特 卡 洛 方 法 它将随机过程中的马尔科夫过程引入到蒙特 卡洛模拟中 实现动态模拟( 即抽样分布随模拟的 进行而改变). 本质上 MCMC 方法是使用马尔科 夫链的蒙特卡洛积分. 已知市场因子的历史数据 实际上是已知变量的后验分布 要求的一些后验 量如均值~ 方差~ 分位数可归结为对高维的后验分 布进行积分计算. 具体来看 蒙特卡洛积分通过抽 样点 {X( t) t = 1 ~ n} 来估计 E[f( X) ] 其估算 公式为 E[f(I) ] N 1 n n t= 1 f( X( t) ) ( 2) 所以 由 f( X) 的抽样均值可得到其总体均值. 如 果抽样点{X( t) } 是独立的 则可以增加抽样次数 n 来达到所期望的准确度. 一般来讲 随机点 Xt 来自于分布 T( X) 因此 如何由分布 T( X) 得到随机点至关重要. MCMC 方法就是通过构造一个平稳分布为 T( X) 的马尔 科 夫链来得到随机样本. 假定要产生随机变量 {X( 0) X( 1) X( 2) ~ } 则对任意 t B 0 的时刻 下一 状态 X( t+ 1) 来自于对分布 P( X( t+ 1) I X( t) ) 的抽样 它只依赖于当前状态 Xt 并不依赖于历史状态 {X( 0) X( 1) ~ X( t-1) }. 这就是马尔科夫序列 其 中 P( I ) 称为转移核 它不依赖于时间 t. 现在有一个问题是初始状态 X( 0) 对 X( t) 有什 么影响. 在给定 X( 0) 而没有 { X( 1) ~ X( t-1) } 的 信息 情 况 下 将 X( t) 的 条 件 分 布 记 为 P( t) ( X( t) I X( 0) ). 在一般规律下 马尔可夫链将逐渐的忽略 其初始状态 P( t) ( X( t) I X( 0) ) 将最终收敛于唯一 的平稳分布 它既不依赖于 t 也不依赖于初始状 态. 这说明 不管初始值取什么 X( t) 的分布收敛 到同一个分布 即所谓的平稳分布. 事 实上 并不需要起始状态的边际分布就是 T( I ) 从不同的 X( 0) 出发 链经过一段时间的迭 代后 可以认为各个时刻的 X( t) 的边际分布都是 平稳分布 T( I ) 此时称它收敛了. 而在收敛出现 以 前的一段时间 比如 m 次迭代中 各状态的边 际分布还不能认为是 T( I ) 因此在使用式( 2) 估计 E [f ( X) ]时 应把前面的 m 个迭代值去掉 而用后面的 n - m 个迭代结果来估计 即 E[f( X) ] N 1 n - m n t= m+ 1 f( X( t) ) ( 3) 上式称为遍历平均. 由众知的遍历性定理 有 f ^ mn 第 2 期 王春峰等, 基于 MCMC 的金融市场风险 VaR 的估计