(i)设∑={( x 1,z=0}-{(x,y,=)x2+y 方向为下侧,=(xy22+y2+=2=62,20,方向为下侧。则由Gaus 公式 dydz +ydcdx addy 由此得到 d=+ydedx+ eddy xdvdz+ vdzdx+=dxd cosa d+cos Bdcdx+cos ydxdy 2(cosa+cos B+cos r )ds=ds 注对上面的积分,也可取x"的参数表示为{y= Esin sin 8, 其中(0,0)∈D"=10≤0≤2,0≤0≤2m},则 xa dx+=dxdu xdydz+ ydzdx+ =dxdy sin dodo= 2T 10.利用 Gauss公式证明阿基米德原理:将物体全部浸没在液体中 时,物体所受的浮力等于与物体同体积的液体的重量,而方向 是垂直向上的 证以液面为x平面,垂直向上的轴为=轴,在物体表面上点(x,y,=) 处任取一微元,其面积为dS,设n为物体表面上点(x,y,z)处的单位 (外)法向量,p为液体密度。则这小块面积所受的压力大小为 cds 它在三个方向的分力分别为 s(n, y)ds, 于是由 Gauss公式, 0,F,=!∫（ii）设 1, 0} 9 ( 1) 16 ( 2) ' {( , , ) 2 2 ≤ = − + − Σ = z x y x y z {( , , ) , 0} 2 2 2 − x y z x + y < ε z = ， 方向为下侧，" {( , , ) , 0} 2 2 2 2 Σ = x y z x + y + z = ε z ≥ ，方向为下侧。则由 Gauss 公式 0 ' " ∫∫ 3 Σ+Σ +Σ = + + r xdydz ydzdx zdxdy ， 由此得到 ∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy ∫∫ −Σ + + " 3 r xdydz ydzdx zdxdy 2 1 cosα β dydz cos dzdx cosγ dxdy ε −Σ′′ = + + ∫∫ 2 2 2 2 2 1 1 (cos α cos β γ cos )dS dS 2 ε ε −Σ′′ −Σ′′ = + + = ∫∫ ∫∫ = π 。 注 对上面的积分，也可取Σ"的参数表示为 ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ε ϕ ε ϕ θ ε ϕ θ cos sin sin sin cos z y x 其中( , ) " {0 ,0 2 } 2 D π ϕ θ ϕ ∈ = ≤ ≤ ≤θ ≤ π ，则 ∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy 3 " xdydz ydzdx zdxdy r −Σ + + ∫∫ " sin 2 D = = ϕd d ϕ θ π ∫∫ 。 10． 利用 Gauss 公式证明阿基米德原理：将物体全部浸没在液体中 时，物体所受的浮力等于与物体同体积的液体的重量，而方向 是垂直向上的。 证 以液面为 xy平面，垂直向上的轴为 z 轴，在物体表面上点(x, y,z) 处任取一微元，其面积为dS ，设n为物体表面上点(x, y,z) 处的单位 （外）法向量， ρ 为液体密度。则这小块面积所受的压力大小为 dF = ρ zdS ， 它在三个方向的分力分别为 dFx = ρz cos(n, x)dS, dFy = ρz cos(n, y)dS, dFz = ρz cos(n,z)dS ， 于是由 Gauss 公式， = cos( , ) = 0, = cos( , ) = 0 ∫∫ ∫∫ Σ Σ Fx ρ z n x dS Fy ρ z n y dS ， 9