区域,由 Gauss公式, faxdyd=+(a+=dxdy=-[aa+2=)drdyd= 于是 Jaxdyd=+(a+=)dxdy Maddy 从而 axdvdz+ (8)(i)记r=√x2+y2+:2,设原积分为∫Phh+Qhd+Rhd,则 P 3y- aR 设∑={(xy=)x2+y2+x2=2},方向为外侧,设9是x+(-)所围的空 间区域,由 Gauss公式, Paydz odzdx+ Rdxdy +=2+) dady=0。 ax ay 由于cosa=x,cosB= 2, cosr=三 xdyd= ydEdx addy rr xdydz ydzdx +=dxdy =ll cosadyd=+cos Bdedx+cos ydxdy sJ(cosa+cos B+cos n)ds=I Esin p cose 注对上面的积分,也可取Σ的参数表示为{y= Esin sin 8, 其中(9,0)∈D={0≤g≤x,0 则 xdydz+ ydEdx =dxdy rr xdydz+ ydEdx =dxdy ∫ sindone=4z区域，由 Gauss 公式， ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ Ω axdydz + (a + z) dxdy = − (3a + 2z)dxdydz 1 2 4 0 4 2 2 2 3 2 a 2 z(a z )dz a a = − π − π − = − π ∫− ， 于是 2 4 2 4 2 1 2 3 ( ) 1 axdydz + a + z dxdy = − πa − a dxdy = − πa ∫∫ ∫∫ Σ Σ ， 从而 3 2 2 2 1/ 2 2 2 1 ( ) ( ) a x y z axdydz a z dxdy = − π + + + + ∫∫ Σ 。 （8）（i）记 2 2 2 r = x + y + z ，设原积分为 ∫∫ ，则 Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 5 2 2 3 r r x x P − = ∂ ∂ ， 5 2 2 3 r r y y Q − = ∂ ∂ ， 5 2 2 3 r r z z R − = ∂ ∂ 。 设 ' {( , , ) } 2 2 2 2 Σ = x y z x + y + z = ε ，方向为外侧，设Ω是Σ + −( Σ')所围的空 间区域，由 Gauss 公式， ( ) Pdydz Qdzdx Rdxdy Σ+ −Σ′ + + ∫∫ ( ) = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∫∫∫ Ω dxdydz z R y Q x P 。 由于 r z r y r x cosα = ,cos β = ,cosγ = ， ∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy ∫∫ Σ + + ' 3 r xdydz ydzdx zdxdy 2 1 cosα β dydz cos dzdx cosγ dxdy ε Σ′ = + + ∫∫ 2 2 2 2 2 1 1 (cos α cos β γ cos )dS dS 4 ε ε Σ Σ ′ ′ = + + = ∫∫ ∫∫ = π 。 注 对上面的积分，也可取Σ '的参数表示为 ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ε ϕ ε ϕ θ ε ϕ θ cos sin sin sin cos z y x 其中(ϕ,θ ) ∈ D'= {0 ≤ ϕ ≤ π ,0 ≤ θ ≤ 2π}，则 ∫∫ Σ = + + 3 r xdydz ydzdx zdxdy ∫∫ Σ + + ' 3 r xdydz ydzdx zdxdy ' sin 4 D = = ϕd d ϕ θ π ∫∫ 。 8