定理设A是阶对称矩阵，则二次型f()=TA行为正定二次型的充分必要条件是：它的 正惯性指数为n,即p=n 推论1二次型f)='A为正定的充分必要条件为矩阵A的所有特征值都是的正定。 推论2如果A为正定的，则14b0。 a142.a 定义设A是n阶对称阵， 则称4， .为A的r阶顺序主子式 a1a2.an 定理设A为对称阵，则f⑧)=”位为正定二次型的充分必要条件为：A的所有的顺序主 子式都大于零。 负定二次型的判断法 由定理知，A为正定矩阵的充分必要条件为A的所有顺序主子式都大于零。所以A为 负定矩阵的充分必要条件为（←）为为正定矩阵，由此得到判断负定矩阵（二次型）的充分必 要条件如下： (1)A为负定矩阵的充分必要条件是：A的特征值都是负的： (2)A为负定矩阵的充分必要条件是：A的r阶顺序主子式满足(4，>0。 侧n阶对称阵A是正定矩阵的充分必要条件为：存在n阶满秩矩阵P,使4仁PP。 例2设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×m实矩阵，试证明：BB为正定矩阵的充分 必要条件为B的秩为n。 证明充分性由于(BAB=B(By=BAB,所以BB是对称阵。如果(B)=n,则齐次 线性方程组=0只有零解。所以对于任意n维列向量x0,必有m维向量金≠0。又因为A 是m阶正定阵，所以x(BABx=(BxA)>0,故BB为正定阵。 必要性如果BB为正定阵，则对于任意n维列向量x≠0，有x'(BABx-(B4)>0,所 以≠O,即方程组=0只有零解，即r(B)=。 例3判断二次型∫=-5x2-6y2-4:2+4g+4x的正定性。 (八)总结本次课所讲主要内容 由以上讨论，判断二次型为正定二次型的充分必要条件为 (1)对 0，总有<>0： (2)A的正惯性指数为n: (3)存在可逆矩阵P,使A=PP: (4)A合同于单位阵： (5)A的所有的特征值都大于零： (6)A的n个顺序主子式都大于零。 40 20 定理 设A是n阶对称矩阵，则二次型 f x x Ax  T  ( ) = 为正定二次型的充分必要条件是：它的 正惯性指数为n，即 p = n。 推论 1 二次型 f x x Ax  T  ( ) = 为正定的充分必要条件为矩阵A的所有特征值都是的正定。 推论 2 如果A为正定的，则 | A | 0 。 定义 设A是n阶对称阵，则称 r r rr r r r a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1  = 为A的r阶顺序主子式。 定理 设 A 为对称阵，则 f x x Ax  T  ( ) = 为正定二次型的充分必要条件为：A 的所有的顺序主 子式都大于零。 负定二次型的判断法 由定理 知，A 为正定矩阵的充分必要条件为 A 的所有顺序主子式都大于零。所以 A 为 负定矩阵的充分必要条件为 (−A) 为为正定矩阵，由此得到判断负定矩阵（二次型）的充分必 要条件如下： （1） A 为负定矩阵的充分必要条件是：A 的特征值都是负的； （2） A 为负定矩阵的充分必要条件是：A 的 r 阶顺序主子式满足 (−1) r  0 r 。 例1 n 阶对称阵 A 是正定矩阵的充分必要条件为：存在 n 阶满秩矩阵 P，使 A P P T = 。 例2 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 m  n 实矩阵，试证明： B AB T 为正定矩阵的充分 必要条件为 B 的秩为 n。 证明 充分性 由于 B AB B A B B AB T T T T T T T ( ) = ( ) = ，所以 B AB T 是对称阵。如果 r(B) = n ，则齐次 线性方程组 Bx = 0 只有零解。所以对于任意 n 维列向量 x  0 ，必有 m 维向量 Bx  0 。又因为 A 是 m 阶正定阵，所以 x (B AB)x = (Bx) A(Bx)  0 T T T ，故 B AB T 为正定阵。 必要性 如果 B AB T 为正定阵，则对于任意 n 维列向量 x  0 ，有 x (B AB)x = (Bx) A(Bx)  0 T T T ，所 以 Bx  0 ，即方程组 Bx = 0 只有零解，即 r(B) = n。 例 3 判断二次型 f 5x 6y 4z 4xy 4xz 2 2 2 = − − − + + 的正定性。 （八） 总结本次课所讲主要内容 由以上讨论，判断二次型为正定二次型的充分必要条件为 （1） 对 x  0 ，总有 x Ax  0 ； （2） A 的正惯性指数为 n； （3） 存在可逆矩阵 P，使 A P P T = ； （4） A 合同于单位阵； （5） A 的所有的特征值都大于零； （6） A 的 n 个顺序主子式都大于零