7.(本题满分10分)(1)L的方向向量可取为 2ci+(1-c2)j-(1+c2)k 因此L的对称式方程为 (2)在以上方程中令z=t,得 2ct+(c2-1) 2c+(c2-1)n 这就是曲面∑与平面z=t的交线的参数方程,其中c为参数 进一步,从上式知 y=At+B, 其中A= 。显然A2+B2=1,于是 A2(1+t2)+B2(1+t2)=1+t2 因此曲面∑与平面z=t的交线的方程又可表为 z=t (3)从(2)可知,过(0,0,z)点且与Oxy平面平行的平面截由曲面∑,平 面z=0和z=1所围立体的截面均为圆,其面积为 A(二)=r(1+z2), 因此该立体的体积为 =)d=(+=)=x。7．（本题满分 10 分）（1） L 的方向向量可取为 2 2 1 1 2 (1 ) (1 ) 1 c c c c c c       i j k i j k ， 因此 L 的对称式方程为 2 2 1 2 1 1 x y c z c c c c         。 （2）在以上方程中令 z t  ，得 2 2 2 2 2 ( 1) , 1 2 ( 1) , 1 , ct c x c c c t y c z t                    这就是曲面  与平面 z t  的交线的参数方程，其中 c 为参数。 进一步，从上式知 , , x A Bt y At B        其中 2 2 1 1 c A c    ， 2 2 1 c B c   。显然 2 2 A B 1 ，于是 2 2 2 2 2 2 2 x y A t B t t        (1 ) (1 ) 1 ， 因此曲面  与平面 z t  的交线的方程又可表为 2 2 2 1 . x y t z t        ， （3） 从（2）可知，过 (0, 0, )z 点且与 Oxy 平面平行的平面截由曲面  ，平 面 z  0 和 z 1 所围立体的截面均为圆，其面积为 2 A z z ( )   π(1 )， 因此该立体的体积为   1 1 2 0 0 4π ( )d π 1 d = 3 V A z z z z     