注上述定义3.2.1至定义3.2.4可统一地表示为如下形式: 设函数f(x)定义在某区间X上(X可以是开区间,闭区间或半开半 闭区间)。如果x∈X与vE>0,38>0,Wx∈X(x-x<o): f(x)-f(x)<E,则称函数f(x)在区间X上连续 例3.2.3f(x)=si在(-,+∞)上连续 证设x0∈(-0,+∞)是任意一点,由于 x X-X sin x-sin xo =2 cos SIn a≤|x-x0 对任意给定的E>0,取δ=E,当x-xnkδ时,成立 sinx-sin xo <x-xo<eo 所以f(x)=sinx在(-∞,+∞)上连续 同样可以按定义证明f(x)=cosx在(-∞,+∞)上连续例3.2.3 f x x ( ) sin = 在 (−,+) 上连续。 证 设 x0 (−,+) 是任意一点，由于 | 0 sin sin x x − | = 0 0 2 cos sin 2 2 x x x x + −  | x − x | 0 ， 对任意给定的  0，取  = ，当 0 | | x x −   时，成立 | 0 sin sin x x − | 0  − | | x x  。 所以 f x x ( ) sin = 在(−,+) 上连续。 同样可以按定义证明 f x x ( ) cos = 在 (−,+) 上连续。 注 上述定义 3.2.1 至定义 3.2.4 可统一地表示为如下形式： 设函数 f (x)定义在某区间 X 上（ X 可以是开区间，闭区间或半开半 闭区间）。如果x0  X 与  0，  0， ( ) x X x − x0   ： ( ) − ( )   0 f x f x ，则称函数 f (x)在区间 X 上连续