区域的定理 第13页 36解析函数高阶导数 从 Cauchy积分公式,可以推断出一个重要结或如果f()在石中解析,则在G内f()的任 何阶导数f(n)(2)均存在,并且 f(n)(z) 其中C是G的正向边自,z为G内任意一点,如图3.11 图3.11高阶导数公式 证首先求f(z).因为 f(z+h)-f(2)11 f()f() 取形限h→0,左端即为∫(z),而右端被积函数的形限为∫()/(-z)2.为了证明在积分号下求 形限合法,不妨考察 f(sdc f(s)ds (-z-h)(-2)-)。(-2)2 (-z-h)(-z)2 由于f()在C上连续,故在C上有|f(川≤M,设z到C的最短距离为δ,l为C的长度,则有 f() M h)(-z) 因此,积分号下求形限合法 f (a)=2i 同样,可以求出 f(=m(+b)-f(a=1【=2-b一2 f() (as h→0 h)2(-2)2 如此继续,即可求出f(n(z).口 这个结果说明,一个复变函数,只要在一个区域中一阶导数处处存在(因此是区域内的解析 函数),则它的任何阶导数都存在,并且都是这个区域内的解析函数￾✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 13 ✟ §3.6 ÏÐÑÒ❽ÓÔÕÒ ✬ Cauchy ✖✗âã✧ ❰Ï❁Ö❏✴●× ✎❤➂❨❖P f(z) ✩ G ❭➹➘✧❆ ✩ G ✖ f(z) ✢ ✮ ➴Ø ❑✙ f (n) (z) ✌✿ ✩ ✧❍❀ f (n) (z) = n! 2π i I C f(ζ) (ζ − z) n+1 dζ, ❬ ❭ C ✘ G ✢➦ ❵Ð❝✧ z ✱ G ✖✮✯✴✳✧❖✃ 3.11 ✤ ❋ 3.11 ÙÚõö➭➯ Ô ÛÜ⑤ f 0 (z) ✤◆✱ f(z + h) − f(z) h = 1 2π i 1 h I C  f(ζ) ζ − z − h − f(ζ) ζ − z  dζ = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − z − h)(ζ − z) dζ, ❃✽✾ h → 0 ✧Ý ❧ ♦✱ f 0 (z) ✧✆☞ ❧❦✖★✙✢✽✾✱ f(ζ)/(ζ − z) 2 ✤✱✰Û Ü✩ ✖✗Þq ⑤ ✽✾▼ß✧①⑩àá I C f(ζ) dζ (ζ − z − h)(ζ − z) − I C f(ζ) dζ (ζ − z) 2 = h I C f(ζ) dζ (ζ − z − h)(ζ − z) 2 . ⑦❥ f(ζ) ✩ C ✜❙❚✧✍ ✩ C ✜✪ |f(ζ)| ≤ M ✧✥ z ❀ C ✢âãäå✱ δ ✧ l ✱ C ✢❞❡✧❆✪     I C f(ζ) (ζ − z − h)(ζ − z) dζ − I C f(ζ) (ζ − z) 2 dζ     ≤ |h| · Ml δ 2(δ − |h|) → 0, ◆✼✧✖✗Þq ⑤ ✽✾▼ß✧ f 0 (z) = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − z) 2 dζ. ②➮✧ ❰Ï⑤❏ f 00(z) = lim h→0 f 0 (z + h) − f 0 (z) h = lim h→0 1 2π i 1 h I C  f(ζ) (ζ − z − h) 2 − f(ζ) (ζ − z) 2  dζ = lim h→0 1 2π i I C 2ζ − 2z − h (ζ − z − h) 2(ζ − z) 2 f(ζ)dζ = 2! 2π i I C f(ζ) (ζ − z) 3 dζ. ❖✼æ❚✧♦❰⑤❏ f (n) (z) ✤ F ❐ ● ❤P✑ Ü✧✴●✔✕★✙✧✒✎ ✩✴●➈➉ ❭✴Ø ❑✙❰❰✿ ✩ (çè✶ ➒➓ ➟➠✙✚ ✲✳) ✧❆✾✢ ✮➴Ø ❑✙ ❩ ✿ ✩ ✧❍❀ ❩ ✘❐● ➈➉ ✖ ✢➹➘★✙✤