例如计算椭圆x+),=1(b>a>0)的周长时,利用椭圆的参数方程 x= a cos t,y=bsnt,记L为椭圆在第一象限的部分,则所求周长的四 分之一为 a sin+b2 cos tdt af sin t+6(1-sin *)dt 62Sin tdt=b VI-k sin tdt L 这里k=6a。[-ksmd就是含参变量k b 的积分,称为第二类完全椭圆积分。遗憾的是, 被积函数√1-k2sim2t的原函数不能用初等函数 表示。因此计算这个积分,通常只能采用数值计 算的方法。 图151.1例如计算椭圆 1( 0) 2 2 2 2 + = b  a  b y a x 的周长时，利用椭圆的参数方程 x = a cost, y = bsin t ，记 L 为椭圆在第一象限的部分，则所求周长的四 分之一为 π π 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 π 2 2 π 2 2 2 2 2 2 0 0 d sin cos d sin (1 sin )d 1 sin d 1 sin d , s a t b t t a t b t t b a b t t b k t t b = + = + − − = − = −      L 这里 b b a k 2 2 − = 。 2 2 2 0 1 sin d k t t  −  就是含参变量k 的积分，称为第二类完全椭圆积分。遗憾的是， 被积函数 k t 2 2 1− sin 的原函数不能用初等函数 表示。因此计算这个积分，通常只能采用数值计 算的方法。 L x z O 图15.1.1