第1章极限与连续 5 如将“an-a<e”中的“<e”换为“≤e”,或将“e”换为“ “2e”“e3n “VE”或“n(1+e)”等，也都与原定义等价. 3.增加、减少或改变数列的有限项不影响一个数列的敛散性， 4.{an}不以a为极限（可能收敛但收敛值不等于a)描述为：对实数a, 3eo>0,对VNeN,总存在no>N,满足 ano-a≥eo- 记为amPa(n→∞) 5.如果数列{an}不以任意实数a为极限，即{an}没有极限，此时称{an} 为发散数列，即对a∈R,eo>0,使得对HN∈N,总存在no>N,满足 lamo-a≥e0- 特别地，若对任给的M>O,总存在自然数NM,使得只要n>NM就有|anl>M, 则称数列{an}发散到无穷，或称当n→oo时{a,}是无穷大量，并记lim an=∞ (类似地定义lim an=+o和lim an=-∞). ◇收敛数列的性质 1.有界性 收敛数列{an}一定是有界的，即存在M>O,使得对所有n∈N,成立 lanl≤M. 注记有界性只是数列收敛的必要条件，但不是充分条件，即“有界数列未 必收敛，无界数列一定发散” 2.极限唯一性 收敛数列的极限是唯一的 3.四则运算性 设数列{a}和{b,}都收敛，则有： (1)lim(an±bn)=lim an±lim oni -c