临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第十章定积分的应用 基本概念 1.对于曲线C的无论怎样的分割T,如果存在有限极限 lim S=s,则称曲线C是可 求长的,并把s定义为曲线C的长度 基本定理 设L:x=x()y=y(0)a≤1≤B,又4x()y)B(z(y),x()和y)在 区间[a,上连续可导且x2()+y()≠0.则L上以A和B为端点的弧段的孤长为 s=」√z(+b( 三、基本要求 1.理解微元法的思想,并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题 化成定积分; 2.熟练地应用本章给出的公式,计算平面区域的面积、平面曲线的弧长,用截面面积 计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等 四、典型例题 例1.求由双纽线r2=a2cos20所围平面图形的面积 解,0200引叫 可见图形夹在过极点,倾角为 ±z的两条直线之间).以-0代O方程不变 图形关于X轴对称;以丌-代,方程不变, 图形关于Y轴对称.参阅P242图10-6临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第十章 定积分的应用 一、基本概念 1. 对于曲线C 的无论怎样的分割T ，如果存在有限极限 S s T T = →0 lim ，则称曲线 是可 求长的，并把 C s 定义为曲线C 的长度。 二、基本定理 1. 设 L : x = χ(t) ( , y = y t),α ≤ t ≤ β ，又 A(χ(t), y(t)),B(χ(t), y(t))， χ(t)和 在 区间[ y(t) α,β ]上连续可导且 ( ) ( ) 0 . 则 2' 2' χ t + y t ≠ L 上以 A 和 B 为端点的弧段的弧长为 s [ ] ( )t [y ( )t ] dt ∫ = + β α χ 2 ' 2 ' . 三、基本要求 1. 理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题 化成定积分； 2. 熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积 计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。 四、典型例题 例 1. 求由双纽线 cos 2θ 所围平面图形的面积 . 2 2 r = a 解： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≥ ⇒ ∈ − 4 , 4 cos 2 0, π π θ θ 或 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 4 5 , 4 3π π . ( 可见图形夹在过极点, 倾角为 4 π ± 的两条直线之间 ) . 以 −θ 代θ 方程不变, ⇒ 图形关于 X 轴对称 ; 以π −θ 代θ , 方程不变, ⇒ 图形关于Y 轴对称 . 参阅 P242 图 10-6 - 1 -