临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 因此 A=4.a 200=a 例2求星形线vx2+y2=Va2的全长 解:星形线的参数方程为 x=acos t 0≤t≤2丌 dx=-3acos2tsin tdt, dy= 3a costsin2tdr ds=avcostsin2t+cos'tsin t dt =3a sint cost dt 弧长s=453sm(cobh=6msm21=6 例3(关于变上积分):设∫(x)在(a≤x≤b)内连续,且f(x)>0。证明函数 tf(t dr 在(0,+∞)内单调增。 f(d 证明:F(x)= xf()f(dt-f()rldr (x)(x-0)/(M f(dt 故F(x)在+∞)为单调增。 例4求lim 解:这是一个型未定式。[ed可看成以u=cosx为中间变量的复合函数。从而 由洛必塔法则有, x→0 x→0 例5若(对)在p]上连续,证明!finx=/osxy临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 因此 ∫ = ⋅ = 4 0 2 2 cos 2 2 1 4 π A a θdθ a . y x 例 2 求星形线3 2 3 2 3 2 x + y = a 的全长 解：星形线的参数方程为 , ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = y a t x a t 3 3 sin cos 0 ≤ t ≤ 2π , dx 3a cos tsin tdt 2 = − , dy = 3acostsin2 tdt ， ds a t t t t 4 2 2 4 = 3 cos sin + cos sin dt = 3a | sint cost | dt . 弧长 s 4 2 3asint costdt 6a 0 = = ∫ π sin t 6a 2 0 2 = π 。 例 3 (关于变上积分)：设 f (x) 在(a ≤ x ≤ b)内连续，且 f (x) > 0。证明函数 ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = x x f t dt tf t dt F x 0 0 在(0,+∞)内单调增。 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ' 0 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ ∫ x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 0 > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ ∫ x x f t dt f x x t f t dt 故 F(x)在(0,+∞)为单调增。 例 4 求 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x ∫ − → 解：这是一个 0 0 型未定式。 ∫ 可看成以 − 1 cos 2 x t e dt u = cos x 为中间变量的复合函数。从而 e dt ( ) x e ( x du d e dt dx d x u t x t cos sin 2 2 2 ' cos 1 1 cos ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − ∫ ∫ )。 由洛必塔法则有， x e xe x e dt dx d x e dt x x x t x x t x 2 1 2 sin lim 2 lim lim 2 2 2 cos 0 cos 1 0 2 1 cos 0 = = − = − → − → − → ∫ ∫ 。 例 5 若 f (x) 在[0,1]上连续，证明 ( ) ( ) ∫ ∫ = 2 0 2 0 sin cos π π f x dx f x dx - 2 -