临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 证明:设x=-t则dx=-dt,且 当x=0时,t=x;x=时,t=0.于是 /m=(叫一)上(mMm如 注意:此处用到“定积分与积分变量无关”的结论。 例6证明广义积分x.a>0当a<1时收敛,当a≥1时发散 证明:x=0是函数一的无穷间断点。 当a<1时,因[dx= lim-adr=lim/1-a 故[dx收敛 (1)当a=1时, [=m门在=lm=+ 故此时积分发散。同理,当a>1时,[也发散 例7计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积 解:联立两曲线的方程可求得交点为(2,-2)和(8,4).根据区域的形状,选取y 为积分变量,则所求面积是两个曲边梯形之差,即 S=[(y+4)-y2jd=18 例8一圆柱形的贮水桶高为5米,底圆半径为3米,桶内盛满了水。问要把桶内的水 全部吸出需作多少功? 解:作x轴使其正向朝下,取深度x为积分变量,它的变化区间为[0,5],相应于[ 5]上任一小区间[xx+x]的一薄层水的高度为d水的比重为9800/米2,这薄层水 的重力为98003a这薄层水吸出桶外需作之功为dhp=(800×32mh)x.故所求功 W=[dh=88200m|63462000焦 五、复习题临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 证明：设 x = − t 2 π 则 dx = −dt , 且 当 x = 0 时， 2 ; 2 π π t = x = 时，t = 0 . 于是 ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − 2 0 2 0 0 2 2 0 cos cos 2 sin sin π π π π π f x dx f t dt f t dt f x dx 注意：此处用到“定积分与积分变量无关”的结论。 例 6 证明广义积分 dx x ∫ a 1 0 1 ， a > 0 当 a < 1时收敛，当 a ≥ 1时发散。 证明： x = 0 是函数 a x 1 的无穷间断点。 当 a < 1时，因 ( ) a a x a dx x dx x a a a a − − = − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = = − → − ∫ → ∫ → 1 1 lim 1 1 1 1 1 lim 1 lim 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 ε ε ε ε ε ε 故 dx x ∫ a 1 0 1 收敛。 (1) 当 a = 1 时， = = [ ] = +∞ ∫ → ∫ → 1 0 1 0 1 0 lim ln 1 lim 1 ε ε ε ε dx x x dx x a 故此时积分发散。同理，当 a > 1时， dx x ∫ a 1 0 1 也发散。 例 7 计算抛物线 y 2x 与直线 2 = y = x − 4 所围成的图形的面积。 解：联立两曲线的方程可求得交点为 ( 2, -2 ) 和 (8, 4 ) .根据区域的形状，选取 y 为积分变量,则所求面积是两个曲边梯形之差，即 ∫− = + − = 4 2 2 ] 18. 2 1 S [( y 4) y dy 例 8 一圆柱形的贮水桶高为 5 米，底圆半径为 3 米，桶内盛满了水。问要把桶内的水 全部吸出需作多少功？ 解：作 轴使其正向朝下，取深度 为积分变量，它的变化区间为 [ 0, 5 ] ,相应于 [ 0, 5 ] 上任一小区间 x x [x, x + dx]的一薄层水的高度为 dx .水的比重为 9800 牛/米 3 ，这薄层水 的重力为9800 × 32 πdx ,这薄层水吸出桶外需作之功为 dw ( πdx)x 2 = 9800×3 . 故所求功 为 3462000 2 88200 5 0 2 5 0 = = ≈ ∫ x W dw π 焦。 五、复习题 - 3 -